概率论与数理统计
答案FX(b)?F(a,b)=F(??,b)?F(a,b)
8.设指数分布X~E(?),Y~E(?)独立?则P(X?x,Y?y)? .答案e?(?x??y) 计算题
★1.设袋中有5只球,其中3只球标有数字0?2只球标有数字1,无放回依次取2只球,结果为(X,Y).计算:(1)(X,Y)联合分布列?(2)边缘X,Y分布列? (1) 联合分布点概率为
323323P(X?0,Y?0)???,P(X?0,Y?1)???,
54105410233211P(X?1,Y?0)???,P(X?1,Y?1)???.
54105410因此联合分布列为
Y0 1 X 33 0 101031 1 1010
(2) 边缘分布点概率为
3P(X?0)?,
52P(X?1)?1?P(X?0)?.
533P(Y?0)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?0)?2??,
1052P(Y?1)?1?P(Y?0)?.
5因此边缘分布列为
Y 0 X 0 1 1
P 3/5 2/5 P 3/5 2/5
☆2.设袋中有6只球,其中4只球标有数字0?2只球标有数字1,无放回依次取2只球,结果为(X,Y).计算:(1)(X,Y)联合分布列?(2)边缘X,Y分布列?
★3.设二维变量(X,Y)边缘独立,联合分布阵列如下,计算:?,?,?的值.
Y1 2 3 X 11? 1 691? ? 2 9
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概率论与数理统计
?11??1?由独立性得???????????
?69??9?151151??5???2?????????????0,??或??.
1891818?9?18??9???1/91由 ???2或,
1/61/9?5121115得 ??,??,??.或??,??,??.
391830459tt1??1/9又法.令???t,??,??,??,
699t1/61/9?111tt1112代入?????????1,得???,5t??11,
699699t18t15t2?11t?2?0,(t?2)(5t?1)?0,t?2或t?,
5121115因此??,??,??;或??,??,??.
391830459
?Cx2e?y,?1?x?1,y?0,★4.设二维变量(X,Y)联合密度f(x,y)??计算:(1)常数C;(2)边缘
0,其它.?X,Y的密度?判断并证明X,Y是否独立;(3)概率P(0?X?1,0?Y?2).
(1)由规范性得
1????2C1322C32?y?y1???Cxedydx?xdx?edy?,C?. ——2分 ??10?103232(2)边缘X的密度为
????33fX(x)??f(x,y)dy??x2e?ydy?x2,?1?x?1. ——2分 ??022边缘Y的密度为
???132?y?yfY(y)??f(x,y)dx??xedx?e,y?0. ——1分 ???12由f(x,y)?fX(x)fY(y),得X,Y独立. ——2分 32?yx?e,?1?x?1,y?0,非零密度取值范围为矩形,可 2
分离变量(联合密度可表为x的函数与y的函数的积),得
?32?y?x,?1?x?1,e,y?0,? fY(y)?? fX(x)??2——3分 ?0,y?0.?0,其它.?或解.f(x,y)?因此X,Y独立.
(3)P(0?X?1,0?Y?2)??1——2分
100?2f(x,y)dxdy
2321??xdx??e?ydy?(1?e?2). 0202
——3分
?Ax?xe,x?0,y?0,35.设二维变量(X,Y)联合密度f(x,y)??计算:(1)常数A;(2)边缘X,Y?(1?y)?其它.?0, 第22页 共32页
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的密度?并判断X,Y是否独立.
?Ax?2xe,x?0,y?1,26.设二维变量(X,Y)联合密度f(x,y)??计算:(1)常数A;(2)边缘X,Y的y??其它.?0,密度?并判断X,Y是否独立.
??Ax??1?2x?2x?2xedy?Axedy?Axe,x?0, (1) fX(x)??22?1y1y由规范性得
????A1??fX(x)dx??Axe?2xdx?,A?4,
??04(2)由(1)得 fX(x)?4xe?2x,x?0,
1f(x,y)?fX(x)2,x?0,y?1,
y1因此fY(y)?2,y?1.
y由 f(x,y)?fX(x)fY(y),得X,Y独立.
?Ce?(2x?3y),x,y?0,★7.设二维变量(X,Y)的联合密度f(x,y)??计算:(1)常数C;(2)边缘
?0,其它.X,Y的密度,判断并证明X与Y是否独立;(3)概率P(X?1,Y?2). (1)由规范性得
??????C???2xC ?3yC?6.1???Ce?(2x?3y)dydx?2edx3edy?, ?0002?3?02?3(2)fX(x)??????f(x,y)dy??6e0???(2x?3y)dy?2e?2x???03e?3ydy?2e?2x,
?2e?2x,x?0,边缘X的密度为fX(x)??
?0,x?0.fY(y)??????f(x,y)dx??6e0???(2x?3y)dx?3e?3y???02e?2xdx?3e?3y,
?3e?3y,y?0,边缘Y的密度为fY(y)??
?0,y?0.由f(x,y)?fX(x)fY(y),得X,Y独立.
或解.f(x,y)?6e?2x?e?3y,x?0,y?0,非零密度取值范围为矩形,可分离变量(联合密度可表为x的函数与y的函数的积),得
?2e?2x,x?0,?3e?3y,y?0, fY(y)?? fX(x)???0,x?0.?0,y?0.因此X,Y独立.
(3)概率P(X?1,Y?2)??2e1???2x
dx?3e?3ydy?e?8.
2??第四章 选择题
1.设变量X~B(n,p),期望E(X)?2.4,方差D(X)?1.44,则参数n,p的值为( )?
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(A)n?4,p?0.6; (B)n?6,p?0.4; (C)n?8,p?0.3; (D)n?12,p?0.2. 答案B 2.已知离散变量X的取值为x1??1,x2?0,x3?1,且E(X)?0.1,D(X)?0.89,则对应于x1,x2,x3的取值概率p1,p2,p3依次为( )?
(A)0.4,0.1,0.5; (B)0.1,0.4,0.5; (C)0.5,0.1,0.4; (D)0.4,0.5,0.1. 答案A 3.随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4 则EX和DX分别是( )
(A)1.8和0.8 (B) 2和0.8 (C)2和1 (D)2和1.8 B
★4.随机变量X,Y和的方差等式D(X?Y)?DX?DY是X和Y( )?
(A)不相关的充分条件,但非必要条件; (B)独立的充分条件,但非必要条件; (C)不相关的充分必要条件; (D)独立的充分必要条件. 答案C
★5.设二维变量(X,Y)边缘不相关?DX,DY有限?下列推论不正确的是( )? (A)Cov(X,Y)?0; (B)X,Y独立;
(D)D(X?Y)?DX?DY. (C)?X,Y?0;
答案B
6.设D(X)?1,D(Y)?4,cov(X,Y)?1,则U?X?2Y,V?2X?Y的相关系数为( ).
1; 57;513.(C)(A)0; (B) (D) 21426答案D 填空题
1.设随机变量X,Y的期望分别为2和5，则随机变量3X?2Y的期望为 . 2.设离散型变量X的分布列如下?则变量Y?X2?1的期望EY? . X ?1 0 2 4
P 0?2 0?1 0?3 0?4
3.设变量X,Y独立，并且方差分别为4和9，则方差D(2X?Y)= .
(x?1)4.设变量X密度为f(x)?1e?4,???x???,则方差DX为 .
2?215.设随机变量X密度f(x)?e??x,x?R,则其方差为 .
2?1?x2e，则DX＝ .12 ☆6.设X的概率密度为f(x)?2?7.如果随机变量X和Y满足E(XY)?EXEY，则D(X?Y)?D(X?Y)= . ★8.设二维变量(X,Y)的边缘X,Y不相关?X,Y方差有限?则等价条件是 . 计算题
1.设随机变量X的分布列为
0 1 3 X
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0.3 p P
求（1）p；（2）数学期望E(X)；（3）方差D(X). 2.已知随机变量X的分布律为 -1 0 1 X 0.1 0.3 0.4 P 求E(X)；D(X).
0.3 2 0.2 ?Acosx,0?x??/2,3.设随机变量X的密度为f(x)??计算:(1)常数A;(2)变量X的分
?0,其他.布函数?(3)期望EX.
?Asinx,0?x??,★4.设变量X的密度为f(x)??计算:(1)常数A;(2)变量X的分布函数
?0,其他.?(3)期望EX.
?1?2A,A?. (1) 1??Asinxdx??Acosx|? 002xx111x?(1?cosx),0?x??, (2) F(x)??f(x)dx??sinxdx??cosx|0 00222?0,x?0,?1?因此,变量X的分布函数为F(x)??(1?cosx),0?x??,
2???1,x?1.(3)EX??xf(x)dx?0?1?11??xsinxdx??xcosx|?cosxdx 0??00222
??1??sinx|??. 0222?e?x x?05.设随机变量X的密度f(x)?? ,计算变量Y?e?2X的期望和方差?
?0 x?0??????1EY?Ee?2X??e?2xf(x)dx??e?2xe?xdx??e?3xdx?;
??003??????12?4X?4x?4x?xEY?Ee??ef(x)dx??eedx??e?5xdx?,
??0051?1?4DY?EY2?E2Y?????.
5?3?45?cx?,0?x?16.设随机变量X的密度函数f(x)??，且EX=0.75，求c,α与DX.
0,其它?23, 807.设(X,Y)的联合分布阵列为
c?3,??2,DX?Y1 X 1 1 32 3 1 61 12 第25页 共32页