专题九 圆锥曲线
x2y21.【2015高考福建，理3】若双曲线E:??1 的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双
916曲线E上，且PF1?3，则PF2 等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B
【解析】由双曲线定义得PF1?PF2?2a?6，即3?PF2?6，解得PF2?9，故选B． 【考点定位】双曲线的标准方程和定义．
【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意运算的准确性．
y22.【2015高考四川，理5】过双曲线x??1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的
32两条渐近线于A，B两点，则AB?（ ） (A)43 (B)23 (C)6 （D）43 3【答案】D 【解析】
y2双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x?2，渐近线方程为x??0，将
32y2x?2代入x??0得：y2?12,y??23,?|AB|?43.选D.
32【考点定位】双曲线.
x2y2x2y2【名师点睛】双曲线2?2?1的渐近线方程为2?2?0，将直线x?2代入这个渐近线
abab方程，便可得交点A、B的纵坐标，从而快速得出|AB|的值.
x2y253.【2015高考广东，理7】已知双曲线C：2?2?1的离心率e?，且其右焦点F2?5,0?，
ab4则双曲线C的方程为（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2 A．??1 B. ??1 C. ??1 D. ??1
4316991634【答案】B．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为F2?5,0?且离心率为e?222c5?，所以c?5，a?4，a4x2y2?1，故选B． b?c?a?9所以所求双曲线方程为?169【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质．
【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离心率和其右焦点易得a，c值，再结合双曲线b2?c2?a2可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属于容易题．
x224.【2015高考新课标1，理5】已知M（x0,y0）是双曲线C：?y?1上的一点，F1,F2是
2??????????C上的两个焦点，若MF1?MF2?0，则y0的取值范围是( )
（A）（-33，） 33 （B）（-33，） 66（C）（?【答案】A
22222323，） （D）（?，） 3333【考点定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
??????????【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将MF1?MF2表示为关于点M坐标的函数，
利用点M在双曲线上，消去x0，根据题意化为关于y0的不等式，即可解出y0的范围，是基础
??????????题，将MF1?MF2表示为y0的函数是解本题的关键.
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a?b)同时增加m(m?0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（ ） A．对任意的a,b，e1?e2
C．对任意的a,b，e1?e2 【答案】D
B．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2 D．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2
(a?m)2?(b?m)2b?m2a2?b2b2?1?()，?1?()，e2?【解析】依题意，e1?
a?ma?maabb?mab?bm?ab?amm(b?a)??因为?，由于m?0，a?0，b?0，
aa?ma(a?m)a(a?m)bb?mbb?mbb?m2，()2?(?1，0??1，?)，所以e1?e2；
aa?maa?maa?mbb?mbb?mbb?m2当a?b时，?1，，所以()2?(?1，而?)，所以e1?e2.
aa?maa?maa?m所以当a?b时，0?所以当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2. 【考点定位】双曲线的性质，离心率.
【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论． 6.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线y?4x相交于A，B两点，与圆
2?x?5?2?y2?r2?r?0?相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则
r的取值范围是（ ）
3? （B）?1，4? （C）?2，3? （D）?2，4? （A）?1，【答案】D 【解析】
显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l的斜率存在时，设斜率为k.
2??y1?4x1设A(x1,y1),B(x2,y2),x1?x2,M(x0,y0)，则?，相减得
2??y2?4x2(y1?y2)(y1?y2)?4(x1?x2).由于x1?x2，所以
C(5,0)，由CM?AB得k?y1?y2y1?y2??2，即ky0?2.圆心为2x1?x2y0?0??1,ky0?5?x0，所以2?5?x0,x0?3，即点M必在x0?522直线x?3上.将x?3代入y?4x得y?12,??23?y0?23.因为点M在圆
?x?5?选D.
2?y2?r2?r?0?上，所以(x0?5)2?y02?r2,r2?y02?4?12?4?16.又
故y0?0，所以不取等号），所以4?y02?4?16,?2?r?4.y02?4?4（由于斜率不存在，
654321yAMFC23456789x2–1O–1–2–3–4–5–61B 【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.
【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线x?3上，由此可确定中点的纵坐标y0的范围，利用这个范围即可得到r的取值范围.
x2y27.【2015高考重庆，理10】设双曲线2?2?1（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂
ab线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于
a?a2?b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A、(?1,0)?(0,1) B、(??,?1)?(1,??) C、(?2,0)?(0,2) D、(??,?2)?(2,??) 【答案】A
【考点定位】双曲线的性质.
【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于a,b,c的不等式，根据
已知条件和双曲线中a,b,c的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于a,b的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中a,b,c关系的不同．
x2y28.【2015高考天津，理6】已知双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的一条渐近线过点2,3 ，
ab??且双曲线的一个焦点在抛物线y2?47x 的准线上，则双曲线的方程为( )
x2y2x2y2x2y2x2y2（A）??1 （B）??1（C）??1（D）??1
212828213443【答案】D
x2y2b【解析】双曲线2?2?1?a?0,b?0? 的渐近线方程为y??x，由点2,3在渐近
aab??线上，所以
b3，双曲线的一个焦点在抛物线y2?47x准线方程x??7上，所以?a2x2y2c?7，由此可解得a?2,b?3，所以双曲线方程为??1，故选D.
43【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.
【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中a,b,c的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线的统一性.是中档.
9.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y??2x的是（ ）
y2x2y22 （A）x??1 （B）?y?1 （C）?x2?1 （D）
4442x2y??1
42【答案】C
y2?x2?0，【解析】由题意，选项A,B的焦点在x轴，故排除A,B，C项的渐近线方程为4即y??2x，故选C. 【考点定位】1.双曲线的渐近线.