热点四 追及、相遇问题
1．分析“追及”问题应注意的几点 (1)一定要抓住“一个条件，两个关系”：
①“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等．
②“两个关系”是时间关系和位移关系．其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．
(2)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意被追上前该物体是否已停止运动．
(3)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼(如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等)，充分挖掘题目中的隐含条件．
2．主要方法
①临界条件法 ②图象法 ③数学法
【典例4】 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一人骑自行车以v0＝6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？
(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？ 解析 方法一 用临界条件求解
v
(1)当汽车的速度为v＝6 m/s时，二者相距最远，所用时间为t＝a＝2 s 1
最远距离为Δx＝v0t－2at2＝6 m. 1
(2)两车距离最近时有v0t′＝2at′2 解得t′＝4 s
汽车的速度为v＝at′＝12 m/s.
方法二 用图象法求解
(1)汽车和自行车的v -t图象如图所示，由图象可得t＝2 s时，二者相距最1
远．最远距离等于图中阴影部分的面积，即Δx＝2×6×2 m＝6 m.
(2)两车距离最近时，即两个v -t图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为
v＝12 m/s.
方法三 用数学方法求解
1(1)由题意知自行车与汽车的位移之差为Δx＝v0t－2at2 －v0
因二次项系数小于零，当t＝＝2 s时有最大值
?1?2×?－2a?
??121
最大值Δxm＝v0t－2at＝6×2 m－2×3×22m＝6 m. 1
(2)当Δx＝v0t－2at2＝0时相遇
得t＝4 s，汽车的速度为v＝at＝12 m/s. 答案 (1)2 s 6 m (2)12 m/s
反思总结 求解追及相遇问题的一般思路
【跟踪短训】
5．如图1－2－7所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6.0 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0 m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．
图1－2－7
1
解析 甲车运动6 s的位移为x0＝2a1t20＝45 m
11此时甲车尚未追上乙车，设此后经过时间t与乙车相遇，则有2a1(t＋t0)2＝2a2t2＋85 m
将上式代入数据并整理得：t2－12t＋32＝0 解得：t1＝4 s，t2＝8 s
t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再次相遇
1
第一次相遇地点距A的距离：x1＝2a1(t1＋t0)2＝125 m 1
第二次相遇地点距A的距离：x2＝2a1(t2＋t0)2＝245 m. 答案 125 m或245 m
思想方法 2.思维转化法
思维转化法：在运动学问题的解题过程中，若按正常解法求解有困难时，往往可以通过变换思维方式、转换研究对象，使解答过程简单明了．
1．逆向思维法
将匀减速直线运动直至速度变为零的过程转化为初速度为零的匀加速直线运动，利用运动学规律可以使问题巧解．
【典例1】 一物块(可看作质点)以一定的初速度从一光滑斜面底端A点上滑，最高可滑至C点，已知AB是BC的3倍，如图1－2－8所示，已知物块从A至B所需时间为t0，则它从B经C再回到B，需要的时间是( )．
图1－2－8
t0t0
A．t0 B.4 C．2t0 D.2
解析 将物块从A到C的匀减速直线运动，运用逆向思维可看作从C到A的初速度为零的匀加速直线运动，根据初速度为零的匀加速直线运动规律，可知连续相邻相等的时间内位移之比为奇数比，而CB∶AB＝1∶3，正好符合奇数比，故tAB＝tBC＝t0，且从B到C的时间等于从C到B的时间，故从B经C再回到B需要的时间是2t0，C对．
答案 C
即学即练1 做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是( )．
A．3.5 m
B．2 m C．1 m D．0
解析 设加速度大小为a，则开始减速时的初速度大小为v0＝at＝4a，第1 s12内的位移是x1＝v0t1－2at21＝3.5a＝14 m，所以a＝4 m/s，物体最后1 s的位移是12x＝2at1＝2 m.
本题也可以采用逆向思维的方法，把物体的运动看作是初速度为零的匀加速直线运动，其在连续相邻相等的时间内的位移之比是1∶3∶5∶7，已知第4 s内的位移是14 m，所以第1 s内的位移是2 m.
答案 B 2．等效转化法
“将多个物体的运动”转化为“一个物体的运动”．
【典例2】 屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图1－2－9所示，(g取10 m/s2)问：
图1－2－9
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
解析 如图所示，如果将这5滴水运动等效为一滴水的自由落体，并且将这一滴水运动的全过程分成时间相等的4段，设每段时间间隔为T，则这一滴水在0时刻、T末、2T末、3T末、4T末所处的位置，分别对应图示第5滴水、第4滴水、第3滴水、第2滴水、第1滴水所处的位置，据此可作出解答．
设屋檐离地面高为x，滴水间隔为T.则x＝16x0,5x0＝1 m 所以x＝3.2 m 1
另有x＝2g(4T)2 解得T＝0.2 s
答案 (1)3.2 m (2)0.2 s
即学即练2 从斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一个小球，在连续释放几颗小球后，对在斜面上滚动的小球拍下照片，如图1－2－10所示，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm，求：
图1－2－10
(1)小球的加速度； (2)拍摄时B球的速度； (3)拍摄时xCD的大小；
(4)A球上方滚动的小球还有几颗．
xBC－xABΔx
解析 (1)由a＝t2得小球的加速度a＝t2＝5 m/s2 (2)B点的速度等于AC段上的平均速度，即 xACvB＝2t＝1.75 m/s