[100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 表2
生产能力分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
①先确定x，y，再完成下列频率分布直方图．
4 8 x 5 3 人数 6 y 36 18
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
1
解析 (1)甲、乙被抽到的概率均为10，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙
111
工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为P＝10×10＝100.
(2)①由题意知，A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名． 故4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5,6＋y＋36＋18＝75，得y＝15. 频率分布直方图如下：
48553－
②xA＝25×105＋25×115＋25×125＋25×135＋25×145＝123， 6153618－
xB＝75×115＋75×125＋75×135＋75×145＝133.8， 2575－
x＝100×123＋100×133.8＝131.1，
A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123、133.8和131.1.
22．(14分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目21
标的概率为3，乙机投弹一次命中目标的概率为2，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互不影响．
(1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解析 设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有
k?2?k?1?2－kl?1?l?1?2－l
P(Ak)＝C2?3??3?，P(Bl)＝C2?2??2?.
????????
14
据此算得P(A0)＝9，P(A1)＝9， 4
P(A2)＝9. 111
P(B0)＝4，P(B1)＝2，P(B2)＝4. (1)所求概率为1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0) 729?111141?＝1－?9×4＋9×2＋9×4?＝1－36＝36. ??(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且
111P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝9×4＝36， 11411P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝9×2＋9×4＝6，
11414113
P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝9×4＋9×2×9×4＝36， 41411
P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝9×4＋9×2＝3， 411
P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝9×4＝9. 综上知，ξ的分布列如下：
Ξ P 0 136 1 16 2 1336 3 13 4 19 1113117
从而，ξ的期望为E(ξ)＝0×36＋1×6＋2×36＋3×3＋4×9＝3.
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