21、如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，
2n?m?n?，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，
D。记??m，?BDM和?ABN的面积分别为S1和S2。 n（I）当直线l与y轴重合时，若S1??S2，求?的值；
（II）当?变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1??S2？并说明理由。
y A B M C O N x D 第21题图
m?1??1? 【解析与答案】（I）S1??S2?m?n???m?n?，???nm??1?1n解得：??2?1（舍去小于1的根）
x2y2x2y2（II）设椭圆C1:2?2?1?a?m?，C2:2?2?1，直线l：ky?x
aman?ky?x222a?mk2am?22 ?y?1?y??xyA22222am?2?1a?mk?2am?同理可得，yB?又
ana?nk222
?BDM和?ABN的的高相等
?S1BDyB?yDyB?yA??? S2AByA?yByA?yB如果存在非零实数k使得S1??S2，则有???1?yA????1?yB，
22a2??2?2??1???2?1??2???1???1??2即：2，解得k? ?223222224n?a??nka?nk?当??1?2时，k2?0，存在这样的直线l；当1???1?2时，k2?0，不存在这样的直线l。
【相关知识点】直线与椭圆相交的问题（计算异常复杂）
22、设n是正整数，r为正有理数。 （I）求函数f(x)??1?x?r?1??r?1?x?1(x??1)的最小值；
nr?1r?1r?1（II）证明：
??n?1??nr??n?1??nr?1r?1r?1；
（III）设x?R，记??x??为不小于x的最小整数，例如??2???2，??????4，S?381?382?383?3125，求??S??的值。
4444（参考数据：803?344.7，813?350.5，1243?618.3，1263?631.7）
证明：（I）f?(x)??r?1??1?x?r??r?1???r?1????1?x?r?1?? ?f(x)在??1,0?上单减，在?0,???上单增。
?f(x)min?f(0)?0
（II）由（I）知：当x??1时，?1?x?r?1??r?1?x?1（就是伯努利不等式了）
?r?r?1所证不等式即为：??n1??r?1?nr??n?1???nr?1??r?1?nr??n?1?r?1 r若n?2，则nr?1??r?1?nr??n?1?r?1??n?r?1?????1?1?n???n?1?
r ?1?rn?1???1??1?n??…………①
?r??1?1?n????rn?1，?rrn??n?1 r????1?1?rrn???1?n?1?n?1，故①式成立。 若n?1，nr?1??r?1?nr??n?1?r?1显然成立。
rnr?1??r?1?nr??n?1?r?1?n?r?1???1??1?n???n?1?
???3???2???1。令
r?1? ?1???1??…………②
n?1?n?rrr?1?， ?1???1??nn?1?n?nrrrr?1?，故②式成立。 ??1???1??1?nnn?1??综上可得原不等式成立。
144?4??3?43（III）由（II）可知：当k?N时，?k3??k?1?3??k3???k?1?3?k3?
4?4???r*444???3125?43?S???k3??k?1?3???1253?803??210.225
4k?81??4??4444???3125?3 S????k?1?3?k3???1263?813??210.9
4k?81??4?????S???211