第1章绪论
1对本文的研究意义、国内外的研究现状及目前常用的损伤识别的方法进行 了阐述，介绍了本文的研究内容和具体安排。
2介绍小波分析的基础理论，连续小波变化、离散小波变换、多分辨分析原 理及Mallat算法，对常用的小波函数特点作了简单介绍。
3对论文采用的Benchmark模型简要介绍，考虑到在求解环境激励下结构的
动力响应时，由于结构的损伤会导致固有频率的减小，而振型对局部刚度的变化 又比较敏感，因此论文在求解非线性结构动力响应时引入了高阶单步一p算法， 该方法具有计算精度高、无条件稳定及无超越现象等优点，论文对该算法做了简 要介绍。
4介绍了利用小波对信号进行降噪的基本原理及常用方法，针对本文的实际
情况在确定小波降噪方案时，从小波函数的选取、分解的尺度及降噪方法等不同 方面进行了详细的对比分析，以信噪比和均方根误差两个指标来评价降噪的效 果，最终确定论文的降噪方案为:采用bior6.8小波2尺度Stein无偏似然估计 闽值法进行降噪预处理，得出比较满意的效果。
5利用小波进行损伤在线监控及损伤位置的确定时，小波函数的选取非常重
要，甚至直接影响损伤识别的结果，因此论文在小波函数的选取方面做了详细的 对比分析，对常用的七种小波函数对损伤识别的效果作了逐一比较，具体是通过 一层离散分解得到细节信号的尖峰高度来评价小波函数识别损伤的能力高低，最 终确定论文采用DoubechieS小波进行损伤时域监测和损伤位置的确定。 6从不同的结构工况及损伤工况出发，对相关结点加速度响应进行一层离散
小波变换，通过观察细节信号的尖锋高度来判断损伤发生的位置，得出利用小波 分析的方法可以对结构做到在线健康监控并能确定损伤所发生的位置。 7为了考察小波分析对损伤识别能力的影响因素，论文从噪声标准、荷载强
度及损伤程度等不同侧面进行了全面分析和比较，得出了荷载强度及损伤程度的 增加会提高小波的识别能力，相反随着噪声标准的提高有用信号将会被噪声所淹 没，因此会降低小波的识别能力甚至无法识别。
8利用BP神经网络对结构的损伤程度做出判断，由于结构损伤后固有频率都 会有降低，但单独从固有频率的变化看没有太大的差别，因此论文采用与损伤程 度相关的指标固有频率平方变化比作为特征参数输入网络，从结构某个支撑发生 不同程度损伤为例建立一个三层BP神经网络，利用训练好的网络对损伤做出判 断，得出结果误差比较小，证明了利用神经网络方法识别结构的损伤程度是可行 的。
吉林大学博士学位论文 1.6.2论文的主要创新点 论文研究的主要创新如下:
1提出了基于加速度响应小波变换细节信号的尖峰高度确定损伤位置的方 法。
通过相关结点加速度响应进行一层离散小波变换，对所得到的细节信号尖峰 高度的变化规律进行分析，考虑了小波函数选取、荷载强度、噪声标准及损伤程 度等因素对小波识别损伤能力的影响，提出了适用于工程应用的加速度响应小波 变换细节信号的尖峰高度确定损伤位置的方法。
2基于小波分析和神经网络的研究提出了结构损伤识别两步法。
将传统的单一损伤识别方法发展为损伤识别两步法。利用小波分析对损伤位
置进行定位，再通过神经网络对损伤程度做出判断，提出了适用于环境激励的基 于小波分析和神经网络的大型结构损伤识别两步法。
3基于小波多分辨率分析的研究提出环境激励下信号降噪流程。
阐述了小波闽值法降噪原理，考虑了小波函数的选取、分解的尺度及闽值
选取对信号降噪的影响，以信噪比和均方根误差两个指标作为评价降噪效果的优 劣，提出了适用于环境激励的结构动力响应降噪流程。 1.6.3论文研究思路
论文在研究过程中，参考了大量的国内外关于钻井平台结构损伤识别的资料
和成果，.研究了小波分析理论和人工智能神经网络，模拟环境激励针对BenChmark 模型发生不同程度的损伤，设计合理的信号降噪方案，利用小波分析对结构的损 伤位置进行定位，同时从噪声标准、荷载强度及损伤程度等不同侧面分析了其对 小波识别能力的影响，最后引入神经网络来对结构的损伤程度作出识别，以与损 伤程度相关的指标固有频率平方变化比作为特征参数输入网络，从结构的单个支 撑发生不同程度损伤建立一个三层BP神经网络，并利用训练好的网络对损伤做 出判断，得出结果比较满意，证明了利用小波和神经网络两步法识别结构的损伤 是可行的。
第2章小波变换的理论基础 第2章小波变换的理论基础 2.，从傅里叶变换到小波分析
当前，信号处理己经成为科学技术发展水平的重要标志。对信号进行分析的 目的主要是从信号数据中找出其所携带的重要信息，对信号作小波变换其实质就 是把信号换一种表示方法，使得那些复杂的、携带重要信息且在原始信号中不易 被发现的特征能够清晰地显现出来，便于人们掌握和分析。依据信号的变化可以 把信号分为两类:即稳定变化的信号和非稳定变化的信号。对于稳定变化的信号， 工程上经常使用傅里叶变换(Fourie:)进行处理[88一90]。 2.1.1傅立叶变换
经历了一个半世纪的发展，傅里叶变换己经发展成熟，并且得到了广泛的应 用，尤其在信号分析及频谱信息研究领域起到了重要的作用。通常情况下对信号的描述是以时间为自变量的，即在时域范围内进行描述，如果想得到信号在频域
的信息就必须经过变换，即傅里叶变换。傅里叶变换就是将一个信号的时域表示 形式映射到频域的一种表示形式;逆傅里叶变换则正好相反，这些都是信号的不
同表示形式191一92]。自1822年傅立叶发表“热传导解析理论”后，傅立叶变换一 直就是信号处理领域中应用最广泛、效果最好的一种处理方法。设信号f(t)是定 义在R上的函数，则f(t)的Fourier变换和它的逆变换为: 厂(CO，=岩厂f(少一喻 (2.1) f(才)F(。)exp(一‘。户。 (2.2)
式中，F(。)是信号f(t)的傅立叶变换。
逆变换还可以用三角函数代替指数函数来表示: ，(t)·共f飞:(。Xcos。，+sin。，万。乙汀一囚 (2.3)
Fourier变换是表现方法的转变，实质就是从时域描述信号转到频域内进行 描述。从物理意义上及公式2.1也可以得出，Fourier变换的实质是把周期变化 的函数f(t)分解成多个不同频率的正弦波和余弦波的叠加;因此一个信号的傅立 叶变换实际上就是描述了正弦信号和余弦信号在构成其原来信号中的贡献系数。 吉林大学博士学位论文
傅立叶变换所用的sin和cos在时间轴上是从一co到十oo的，他被认为在时间域上 是无限支撑的，而在频率域上几乎是零支撑的。从Fourie:变换的结果可以看出， 在时域中连续变化的信号转化为频域后就变成不连续了，因此说Fourie:变换在 频域内是局部化的。
由于傅里叶变换分解的系数都是常数，因此说傅里叶变换适合平稳变化的信 号，因为平稳变化的信号在整个时间域很少有突变，傅立叶变换是足够用的，在 实际的信号处理过程中，尤其对非平稳信号的处理中，由于傅里叶变化不能产生 随时间变化的窗函数，在处理的过程中会产生很大的误差，因此应用的意义不大。 由于Fourie:变换是在整个时间域的积分，求傅里叶系数也是时间域上的加权平 均，在加权平均的过程中突变信息也丢掉了，同时也丧失了局部分析信号的功能， 即在把信号从时间域转换到频率域的过程中，把信号中与时间相关的信息丢失 了，即对于Fourier谱中的对应某一频率产生的时间无从知道，但在工程实际中 通常频率发生变化的时刻对于研究分析来讲是非常重要的，单纯从时间域或单纯 从频率域进行分析都不足以说明问题，因此要想解决傅里叶变换过程中时域和频 域的局部化矛盾的问题，就需要产生一个能反映时间域的特征同时又能反映频率 的特性的基函数，利用该基函数对信号进行小波变换。 2.1.2短时Fo二ie:变换
传统Fourie;变换只在频率域内具有局部分析的能力，但对于非平稳信号而
言，频率发生改变的时刻对研究人员来说是非常重要的，解决这一问题应用传统 的傅里叶变换是无能为力的。因此为了克服Fourier变换在时间域内无任何分辨 率能力的缺点， DermsiGabor于1946年的论文中，为了得到傅里叶变换的局部 信息引入了一个可以给出信号谱的时变信息的窗函数，该窗函数是一个时间局部 化的Gaussian函数，从此诞生了短时傅里叶变换(Short一 TimeFourier
Transform，简称STFT)，也称作窗口Fourier变换 (WindowFourierTransform)。 短时傅立叶变换的基本思想是:选择一个时频局部化的窗函数g(t)，假定分
析窗函数g(t)在很短的时间间隔内是平稳的，这样就可以对窗口内的信号进行傅 里叶变换，然后移动该窗函数，进入下一个时间段内再对窗口内的信号进行傅里 叶变换，这样就可以逐步得到整个信号的时频特性，得出不同时刻的功率谱。短 时傅里叶变换使用的是一个固定的窗函数，一旦窗函数被确定下来，其形状就不 再发生变化，该短时傅里叶变换的分辨率也就随之确定了。如果要改变分辨率， 必须重新选择窗函数。对平稳信号或近似平稳信号而言，利用短时傅里叶变换来 分析比较适合，但利用短时傅立叶变换来分析非平稳信号，尤其是当信号变化较 第2章小波变换的理论基础
大时就不是很适合了。因为在波形平稳的时刻主要以低频信号为主，这时就要求 窗函数具有较高的频率分辨率;而在波形变化剧烈的时刻，主要是以高频信号为 主，则要求窗函数具有较高的时间分辨率。由于短时傅里叶变换不能同时兼顾频 率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg测不准原则 的限制，时频窗的面积不应小于2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换 窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。短时傅立叶变换首先先把信号划分成若干小的时间间隔，在每一个小的时间
内利用Fourier变换进行分析，以便获得该时间间隔内信号的频率。其表达式为 s(。，:)·工了(;)、’(‘一:)。一“dt(2·4)
其中“*”表示复共扼，f(t)是待分析的信号，g(t)是具有紧支集的函数。
在上述变换中，在Fourie:变换的基函数e一姗前乘以一个在时间上有限的时限函
数g(t)即窗函数，然后再用g(t)e一淑作为分析工具，这样e一姗就起到频限的作用， g(t)起到时限的作用，合在一起g(t)e一枷起到时频分析的作用。随着时间t的变 化，由g(O所确定的“时间窗”在时间轴上移动，使厂(t)逐渐地进行分析。所以
g(t)也被称之为窗口函数，典型的窗函数是Gabor在1944年引进的窗函
数上式中娜，分别称为窗口的频宽和时宽，把区域卜一占，:+司、脑一:，。+司 称为窗口，即时域分析中的分辨率，它随窗口宽的减小而增大。S(田，约表示在: 时刻，信号中频率为田的信号含量。工程实际中为了得到好的信号处理结果，希 望娜占都非常小，根据海森堡测不准原理(Heisenbger’ 5Uneertainty Principle)，礴叮是互相矛盾和制约的，两者不可能同时达到最小。
由以上分析可得，短时傅立叶变换的窗口宽度是固定不变的，T、田只能改
变窗口的位置，但不能改变窗口的形状。若要改变分辨率，则必须重新选择窗函 数。也就是说在较长的时间窗内，对于高频信号可能经过了很多个周期，因此求 出的傅立叶变换系数是多个周期的平均值，局部化性能不能得到体现，若减小时 间窗，虽然高频局部化的性能得到了体现，但对于频率很低的信号是很难检测出 来的。因此说短时傅里叶变换实质是一种单一分辨率的分析方法，适用于平稳信 号的分析，若用于非平稳信号的分析，尤其在信号的高频和低频变化较大的位置， 短时傅里叶变换无法同时兼顾，因为高频处要求占要小，而低频处要求￡要小， 即在高频和低频的时间局部化不能同时满足。小波分析的出现弥补了短时傅里叶 变换的不足。
2.1.3从傅里叶变换到小波分析
傅立叶变换和短时傅立叶变换这两种方法适用于平稳信号或短时间内比较
平稳的信号的处理，但在许多工程实际的试验和现场测量中，特别是在具有高度 非平稳性信号激励的土木工程研究领域，普遍存在着非稳定信号，即信号的幅值 特性和频率特性随时间不断改变，而傅立叶变换和短时傅立叶变换信号处理技术 无法解决非平稳信号的处理，即在不改变窗函数的情况下无法改变分辨率。
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在工程结构应用中，高频和低频变化比较剧烈的信号通常都携带重要信息
的，是人们所感兴趣的，通常要用频率和时间两个指标来描述该信号，既要从总 体上掌握该信号全局特征，又能从局部深入分析该信号的不平稳性，以保证提取 出更多的特征信息。例如，在结构损伤检测的过程中，要想知道实测的结构动力 第2章小波变换的理论基础
响应随时间的变化规律就需要有较高的频域分辨率，而要知道结构的动力响应在 不同时间段的变化规律就要求有较高的时域分辨率。
由前面论述，对于非平稳信号而言，Fourie;变换在时间域无任何分辨能力，
但在频率域上能够把信号分解到每个频率细节上，但在时间域上却没有任何分辨 能力。而短时傅立叶变换虽然较傅立叶变化更加先进，但也无法做到这一点，这 是因为短时傅立叶变换的窗函数大小和形状是固定不变的，适用于单一频率组成 信号的处理，对不同频率成分组成的信号则无能为力。由于傅立叶变换和短时傅 立叶变换存在如在如下缺点:
(1)傅立叶级数的正弦或余弦系数在整个过程中是常数，不随时间而变化， 因此无法提供振幅变化的信息;
(2)求傅立叶系数无法反应局部的信息特征;
(3)短时傅立叶变换时间窗是固定不变的，要想提高分辨率就必须重新选
择窗函数，因此在处理高频部分和低频部分的信号时不能同时满足局部化要求。 因此对于非平稳信号的研究，需要有优越于傅立叶变换及短时傅立叶变换的 新的技术，在不断的探索和改进过程中导致了小波分析的出现。
小波分析〔90一93〕 (WaveletAnalysis)是数学领域中新发展起来的工具，是处理非 平稳信号的较好的方法。所谓的“小波”就是小的波形，它的思想起源于伸缩和 平移，小波分析与传统的傅里叶变换和窗口傅里叶变换相比，它的时间窗和频率 窗都是可以改变的，小波分析可以实现信号在时间轴上的压缩和伸展，同时还可 以实现波形在时间轴的平行移动，它实现了真正意义上的时间和频率的局部转 换。由于小波分析的时间频率窗是可以改变的，因此在信号信号变化的比较缓慢 的低频部分应用小波分析时，时间频率窗变宽就可以得到较高的频率分辨率，在 信号变化比较迅速的高频部分应用小波分析，时间频率窗变窄具有较高的时间分 辨率，因此利用小波分析可以从信号中提取有用的信息。
小波分析娜厄 veletAnalysis)被认为是傅里叶分析 (FourierAnalysis)发展的高 级阶段、它开创了调和分析发展史上的新的里程碑，是傅立叶分析思想的发展与 延拓。在刻画函数的局部特性时具有无可比拟的优越性，具体来说小波分析具有 如下特性〔，‘〕:
(1)基函数的灵活性。小波分析所选用的基函数不是唯一的，只要满足所谓
的“容许条件”就可以，由于构造小波的方法有多种，因此就形成了多种小波函 数。例如Haar小波、DaubeChieS小波、样条小波、双正交小波、ReverseBior
小波等等。由于不同小波具有不同的特性，因此可分别用来逼近不同特征的信号， 以达到最佳效果。而常用的傅立叶变换只能用三角函数去逼近信号，没有可供选 吉林大学博士学位论文 择的余地。
(2)算法的快速性。由于小波具有多分辨率分析的特性，因此大大提高了小
波分析的效率，人们可以从尺度函数及两尺度之间的关系推导出小波系数，甚至 在不知道小波函数的解析表达式的基础上也可以得到分析结果。在这里可以把尺 度函数当作一个低通滤波器，把小波函数看作一个带通滤波器。将信号用低通滤