波器和带通滤波器进行分解，比单纯用频率点分解要方便、快捷得多。频带分析 在表面上看比频率分析要粗糙，然而多数情况下信号分析的真正目的是要提取信 号的特征，不需要知道具体每个点的信息。同时小波分析也并不排除对细节进行 分析的可能性。在需要对细节进行分析时，可将频带继续细分下去，起到显微镜 的作用。这一点是傅立叶变换无法比拟的。
(3)分析的双域性。小波分析属于时频域分析方法之一，能够完成时频两域
的分解。和短时傅立叶变换相比，它具有优越的时域窗，在汉森堡不确定原理的 约束下，频率较低时，它具有较宽的时间窗，而在频率较高时，它具有较窄的时 间窗，因而更适合用作信号分析。
(4)应用的广泛性。小波分析既可用于分析平稳信号和非平稳信号;也可以 用于分析周期信号及非周期信号，应用范围比较广。
首先利用小波变换可以把信号聚焦到任意细节进行时域和频域处理，既适用 于非平稳信号特征波形的提取，也适用于检测正常信号中夹带的瞬态反常的信 息，故被称为信号分析的显微镜;其次由于小波分析是一种窗口大小不变，但形 状可变的时频局部化分析方法，同时用小波基可以分解任意函数，又具有“变焦” 的性能，因此又被称为“数学显微镜”。 2.2小波变换
2.2.1连续小波变换
设班(t)。厂(R)，厂(R)表示平方可积实数空间，设班(t)的Fourier变换为 试动。当沂(。)满足完全重构或恒等分辨条件: q=皿亘止J。、二。价(‘)“0 (2.6)
上式中称班(t)为母小波 (MotherWavelet)。公式2.6说明梦(r)具有一定的 震荡性，对母小波班(t)作伸缩平移后，得到小波序列如下: 一1/2，t一b\\班a。又t)=}a}少咬—)a (2.7) 第2章小波变换的理论基础
其中a笋O称为尺度因子，boR称为平移因子。
在不同尺度下小波的持续时间随a的增大而增宽，幅度则和a’‘’成反比减小， 但是波的形状保持不变。
由小波的定义可得小波基函数一般具有如下特点:
(1)紧支撑性。由于梦(t)任八R)，丘班(t冲<‘，班(t)具有快速的衰减性，
所以我们称小波为“小”的波。也可以说少(t)是一种局部非零的紧支函数，小波分 析克服了傅立叶变换需要考虑时间域上的所有信息的缺点。 (2)带通性，因为lof(川’w=0一丘班(t冲·“，所以我们说梦(t)具有带通‘陈 (3)波动性，由于工班(t冲=O，所以我们说小波具有正负交替的波动比 在任意平方可积实数空间中，函数f(t)的连续小波变换为: (、，)(·，。，一(，，梦。，。)一‘’工，(才)梦:宁升 (2.8) 其中。为尺度因子，b为平移因子，丫(t)是基小波，叭，。(t)是叽。(t)的复共 辘，叭.。(t)是母小波经过伸缩和平移后的连续小波序列。
由于少(。)满足完全重构和恒等分辨条件，连续小波变换的逆变换为: ，(t)一牛厂_厂(叽f)(。，b)粤dbLJ价’一一u (2.9) 且对于任意平方可积实数空间中的f(t)，g(t)，存在 厂厂(、f)(a，b)事db一引f，g) (2.10)
在汽.。(t)中变量a称为伸缩因子，它反映母小波函数的尺度，当尺度。增大 时，表示以伸展的班(t)波形去观察整个f(t)，当。减小时，表示以压缩了的少(t)
波形去衡量f(t)的局部。可以说尺度因子类似于地图中的比例因子，大的尺度因 子用来看全局而小的尺度因子用来看局部看细节。 分析连续小波变换中窗口的变化，可以得出如下结论:
(1)尺度a的大小对应不同的频率的信号，小尺度对应变化迅速的高频率: 大尺度对应变化平缓的低频率;
(2)当平移因子b确定后，小波的时间窗和频率窗随尺度的变化而变化; (3)用不同尺度作小波变换大致相当于一组滤波器对信号进行处理，带通的 吉林大学博士学位论文
作用可以用来分解也可以用于检测;
(4)在任何尺度口和时间点b上，窗口面积△t和△田将保持不变，即时间分辨 率和尺度分辨率两者是互相制约的，不可能同时达到最高。 连续小波变换还具有以下重要性质:
(1)平移不变性:若信号f(t)的连续小波变换记为(叽f)(a，b)，那么信号 f(卜:)的连续小波变换则为(叽f)(a，b一:);
(2)线性性:两个函数和的小波变换等于两个函数小波变换的和;
(3)伸缩共变性:若f(t)的连续小波变换为(叽f)(a，b)，那么信号f(ct)的连 续小波变换则为率(叽)(cA，cB)，。、。;一‘一一“/“’“‘振、r‘俨八一“’一”一‘一’ (4)冗余性:这主要是因为连续小波变换是将一维信号变换到了二维空间，
而在连续变换的过程中就会存在多余的信息，即在a一r半平面上各点小波变换的 值是相关的。
(5)能量的比例性:小波变换幅度平方的积分与信号能量成正比。 J0ro乡丘.二(a，。，’“一、J--:卜川Zdt (2.11) 连续小波变换的时间一尺度特性
从连续小波变换的定义可以看出小波变换是尺度参数a和时间参数b的函
数，是一种时间一尺度的分析。可以利用镜头观测目标函数就可以形象地解释利 用连续小波变换的时间一尺度特性进行信号分析的原理。令梦(t)代表镜头，则 丫(t)在时域上的平移和尺度上的伸缩与镜头相对于目标的远离(推进)和平行移 动是非常相似的。当尺度。增大时，汽，。(t)的时域宽度增加，相当于镜头远离目 标，在远距离下观测目标(信号)的概貌情况;当尺度参数。减小时，汽，。(t)的时 域宽度减小，相当于镜头拉进目标，在近距离下观测目标(信号)的细节情况。当 尺度参数a保持不变时，时间参数b的变化相当于镜头相对于目标(信号)作左右 平行移动，但镜头和目标的垂直距离是始终不变的。
小波变换特有的时间一尺度特性，使它既可以对信号作整体的概况描述，又 可以对信号的局部特征进行详细的描述。
连续小波变换的时间一频率特性在完全重构或恒等分辨条件基础上，小波函 数班(t)在时域上是振荡的，而其傅立叶变换必(。)在频域上却是一个带通函数， 而且梦(t)在时域上具有良好的局部性，沂(。)在频域上具有良好的局部性。设:’ 第2章小波变换的理论基础
表示班(t)的中心位置、△，表示班(t)的半径，w*表示尹(。)的中心频率、△w表示沂(。) 的半径，可以得到:班a.吞(t)的中心和半径分别为叭*+b和a&，汽。(。)的中心和 半径分别为w*/。和△w/。。这说明当尺度参数。增加时，在时域上叭，(t)的宽度 也随之增大，小波变换的时域分辨率降低，而在频域上沂。，。(t)的中心随之降低， 宽度也随之减小，小波变换的频域分辨率相应提高。也就是说，当尺度a较大时， 小波变换以较高的频域分辨率和较低的时域分辨率来分析信号的低频成分;而当
尺度参数。减小时，在时域上叽，。(t)的宽度随之减小，小波变换的时域分辨率随 之提高，而在频域上沂a.。(t)的中心也提高，宽度随之增加，小波变换的频域分辨 率降低。即当尺度参数a较小时，小波变换是以较高的时域分辨率和较低的频域 分辨率来对信号的高频成分进行分析的。因此我们可以看出小波变换可以根据信 号的实际情况自动调整时域和频域的分辨率，如图2.3所示。当参数a固定而b 发生变化时，叽，。(t)的中心在时域上平行移动，但其宽度不变，因此b的改变就 相当于在时频分辨率不变的前提下沿着时间轴对信号的不同成分进行观察。 短时傅里叶变换的窗函数g(O在时频平面上移动时，g(t)的包络不变，只是
包络下的正弦波频率改变，时宽和带宽均保持不变。也就是说，短时傅里叶变换 具有恒定分辨率分析的特点，如图。
2.4所
示