数学参考答案及评分标准 2009.5
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．D 2．B 3． C 4. C 5．B 6．B 7． A 8． C 二、填空题（本题共16分, 每小题4分）
5258 12． （3，2）；（55，） 23三、解答题（本题共30分, 每小题5分）
9． 2 10．6 11．
113.解：()?1?12?2sin60??(π-5)02?2?23?2??3?3.3?12………………………………………………………4分 ………………………………………………………5分
14. 解：解不等式①，得 x>2; ……………………………………………………2分
解不等式②，得x<3. ……………………………………………………4分
所以原不等式组的解集为 2 A15．证明：∵ BE=CF, ∴ BE+EF= CF + EF. ∴ BF=EC. …………………1分 在△ABF和△DEC中， BEFC?AB?DE,???B??DEC, …………………3分 ?BF?EC,?D∴ △ABF≌△DEC. …………………………………………………………4分 ∴ AF＝DC. …………………………………………………………5分 2x12x116. 解: 2 …………………………………………1分 ???x?1x?1(x?1)(x?1)x?12x?(x?1) …………………………………………………………3分 (x?1)(x?1)x?1 …………………………………………………………4分 ?(x?1)(x?1)?1． …………………………………………………………5分 x?117．解：依题意，点（2，0）在直线y=-2x+m上， ∴ 0=-2×2+m. …………………………………………………………………1分 ∴ m=4. …………………………………………………………………………2分 由直线l与直线y=3x平行，可设直线l的解析式为y=3x+n. ………………3分 ∵ 点（2，0）在直线l上, ? ∴ 0=3×2+n. ∴ n=-6. …………………………………………………………………4分 故直线l的解析式为 y=3x-6. …………………………………………………5分 18. 解: 过点B作BE⊥AC于E, 则∠AEB=∠BEC= 90?. …………………………1分 AB∵ AB//DC, ∴ ∠BAE=∠ACD=30? . E又∵ AB=12, ∴ EB= 1DC2分 AB=6, AE=AB?cos30??63. ……………………………………… 2在Rt△BEC中, ∠BEC=90? , ∴ EC=BC2?BE2?102?62?8. …………………………………………3分 ∴ AC=AE+EC=63+8. ……………………………………………………4分 在Rt△ADC中,∠D=90?, ∠ACD=30? , ∴ AD= 1AC?33?4. ……………………………………………………5分 2四、解答题（本题共20分, 第19题5分，第20题6分，第21题5分，第22题4分） 19．（1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°. ∴ ∠EAB+∠E=90°. ……………………1分 E ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD， C∴ ∠EAB+∠BAD =90°. OB∴ AD是⊙O的切线. ……………………2分 （2）解：由（1）可知∠ABE=90°. ∵ AE=2AO=6, AB=4, DA∴ BE?AE2?AB2?25. …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB, ∴ cos?BAD?cos?E. …………………………………………………4分 ABBE∴ ?. ADAE即425?.AD6 ∴ AD?125. …………………………………………………5分 520．解：（1）400. ………………………………………………………1分 （2）C型号种子的发芽数为470粒. 图略. ……………………………………3分 （3）A型号种子的发芽率为 630?90%， 2000?3570B型号种子的发芽率为?92.5%, 2000?2080D型号种子的发芽率为?95%，C型号发芽率为94%． 2000?20%? 应选D型号的种子进行推广． …………………………………………5分 200 000×95%=190 000（粒）. 估计能有190 000粒种子会发芽. …………………………………………6分 21. 解：设甲同学平均每分钟清点图书x本，则乙同学平均每分钟清点图书（x+10）本， 依题意，得 200300． ………………………………………………2分 ?xx?10解得x=20. ……………………………………………………………………3分 经检验x=20是原方程的解，且符合题意． ………………………………………4分 答：甲同学平均每分钟清点图书20本． …………………………………………5分 E22．解： A DAD E（1）比如： 或 ………………1分 CB BC（2）①S1 +S4 = S2 +S3, S1 +S3 = S2 +S4或S1?S3 = S2?S4或 S1S2?等. ……………2分 S4S3②S1?S3 = S2?S4或 S1S4?等. ……………………………………………4分 S2S3五、解答题（本题共22分, 第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23.（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2. 依题意 k-1≠0. ∴ x?2. ……………………………………………………………1分 k?1∵ 方程的根为正整数，k为整数, ∴ k-1=1或k-1=2. ∴ k1= 2, k2=3. ……………………………………………………………2分 （2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a . (kc)2?b2?ab(b?a)2?b2?abb2?2ab?a2?b2?ab??∴ 2akca(b?a)ab?aa2?ab??1. …………………………3分 = ab?a2（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac. 由a≠0, c≠0, 得ac≠0. ( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根. ………………………………………………………………4分 ( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc. Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc)2+4ac(k-1). …………………………………………………5分 ∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. …………………………………………………6分 ∴ 4ac(k-1)>0. ∵ (a-kc)2?0, ∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. …………7分 证法二: 若ac>0, ∵ 抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点, ∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc?0. (b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知 k-1>0, ∴ b2-4ac> b2-4akc?0. ∴ Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. …………………7分 综上, 方程②有两个不相等的实数根. 24. 解: （1）DF= EF. ………………………………………………………………1分 D （2）猜想：DF= FE. 证明：过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90?. ∵ DA=DB, ∠ADB=60?. BF∴ AG=BG, △DBA是等边三角形. G∴ DB=BA. A∵ ∠ACB=90? , ∠ABC=30?, ∴ AC= E1CAB=BG. …………………………………………………………2分 2∴ △DBG≌△BAC. ∴ DG=BC. ……………………………………………………3分 ∵ BE=EC, ∠BEC=60? , ∴ △EBC是等边三角形. ∴ BC=BE, ∠CBE=60?. ∴ DG= BE, ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90? . ∵ ∠DFG =∠EFB, ∠DGF =∠EBF, ∴ △DFG≌△EFB. ∴ DF= EF. ……………………………………………………4分 （3）猜想：DF= FE. 证法一：过点D作DH⊥AB于H, 连接HC, HE, HE交CB于K, 则∠DHB=90?. ∵ DA=DB, D∴ AH=BH, ∠1=∠HDB. 1∵ ∠ACB=90?, ∴ HC=HB. BF∵ EB=EC, HE=HE, 3∴ △HBE≌△HCE. ……………………………5分 H2AK∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH. ∴ HK⊥BC. 4EC∴ ∠BKE=90?. ……………………………6分 ∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC, ∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC. ∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90?， ∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90?. ∴ DB//HE, DH//BE. ∴ 四边形DHEB是平行四边形. ∴ DF=EF. ………………………………………………………………………7分 证法二：分别过点D、E作DH⊥AB于H, EK⊥BC于K, 连接HK, 则 D∠DHB=∠EKB=90?. 1∵ ∠ACB=90?, ∴ EK//AC. BF∵ DA=DB, EB=EC, H∴ AH=BH, ∠1=∠HDB, AKCK=BK, ∠2=∠BEK. ∴ HK//AC. 2EC∴ 点H、K、E在同一条直线上. …………………5分 下同证法一. 25．解:（1）依题意, 设所求抛物线的解析式为y?ax2?bx?4, 则 ?4?a?b?4, ………………1分 ??2?9a?3b?4.1?a??,??3 解得? ?b?1.??3∴ 所求抛物线的解析式为 y??由?121x?x?4. ……………………………………2分 33121x?x?4?0, 解得x1=4, x2= -3. 33∴ D(4, 0). …………………………………………………………………………3分 y（2）如图, 过点C作CN⊥x轴于N, 过点E、B分别 5M4AB作x轴、y轴的垂线，两线交于点M. 3∴ ∠M=∠CNE=90°. 2C设E(a, 0), EB=EC. 1∴ BM2+EM2= CN2+EN2. ∴ (1?a)?(4?0)?(2?0)?(3?a). 2222-5-4-3-2E-1-1-2O123ND45x 解得 a=-1. ∴ E( -1, 0). ……………………………4分 （3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5. 从而直线BC与x轴的交点为H(5, 0). 如图，根据轴对称性可知S△E ?FG=S△EFG, 当点E?在BC上时，点F是BE的中点. ∵ FG//BC, -5∴ △EFP∽△EBH. y543ABE'CF-421GO12-3-2E-1-1-2P3D4H5x 可证 EP=PH. ∵ E(-1,0), H(5, 0), ∴ P(2, 0). ……………………………5分 ( i ) 如图, 分别过点B、C作BK⊥ED于K, CJ⊥ED于J , y543ABE'1则S?BCE?S?BEH?S?CEH?EH?(BK?CJ)?6. 2当-1< x ?2时， ∵ PF//BC, ∴ △EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC. F-5-4-3-221CJDH45E-1-1-2O1GKP23xyEGEPS?EFGEG2EP2∴ , ??. ?ECEHS?EBCEC2EH2∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0), ∴ EP=x+1, EH=6. (x?1)21211∴ S?S?E'FG?S?EFG??x?x?(?1?x?2). …………………6分 6636( ii ) 如图，当2< x ?4时, 在x轴上截取一点Q, 使得PQ=HP, 过点Q作 QM//FG, 分别交EB、EC于M、N. 可证S=S四边形MNGF, △ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC. ∴ y543EQENEQS?EFGEN, ??. ?22ECEHS?EBCECEH22AFBE'∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0), ∴ EH=6，PQ=PH=5-x, EP=x+1, EQ=6-2(5-x)=2x-4. ∴S?EMNM-5-4-3-221CGNO1Q23(2x?4)?. ……………7分 6(x?1)2， ?62E-1-1-2PD4H5x同（i）可得 S?EFG∴ S?S?EFG?S?EMN(x?1)2(2x?4)215????x2?3x?(2?x?4).…………8分 66221?121x?x?(?1?x?2),??636综上，S?? 15??x2?3x?(2?x?4).?2?2