则 T?
2???2?m?r2?g?2m? 证毕
r?g7.当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是多少?找出dT/T与dg/g之间的关系式。
解：单摆周期与加速度关系为T?2?l1g?3/2
两边取微分，则当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是
dT??2?l?g?dT/T与dg/g之间的关系式
dg
dT2?l?g???TT
?3/2dg??ldg 2g8．两个同方向、同周期的简谐振动的运动方程为x1=4cos(3πt+π/3)和x2=3cos（3πt－π/6），试求它们的合振动的运动方程。
解：由同方向、同周期的简谐振动合成振幅表达式有
2A?A12?A2?2A1A2cos??42?32?2?3?4?cos(?)?5
36???3sin(?)?136?0.128??tan???4cos?3cos(?)364sin??rad
?) 合振动方程为：x?5cos(3?t?0.128
9．设某质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示，其运动方程为x=Asinωt+Bsin2ωt。(a)写出该质点的速度和加速度表示式；(b)这一运动是否为简谐振动？
解：(a)
v?dx?A?cos?t?2Bcos2?tdt
dva???A?2sin?t?4B?2sin2?tdt(b)不是简谐振动
11
10．已知平面波源的振动方程为y=6.0×10-2cos
π
t（m），并以2.0m/s的速度把振动传9
播出去，求：(a)离波源5m处振动的运动方程；(b)这点与波源的相位差。 解：(a)
由已给方程可直接得到：??将x=5m代入波动表达式
?9,???11?,T??18s 2?18?m
?x?5y?6.0?10?2cos(t??)?6.0?10?2cos(t??)9u9185? (b)相位差???18
11．一平面简谐波，沿直径为0.14m的圆形管中的空气传播，波的平均强度为8.5×10-3Js-1m-2 ，频率为256Hz，波速为340ms-1，问波的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的空气中有多少能量？
解：已知D=0.14m，平均强度I=8.5×10-3Js-1m-2，ν=256Hz,u=840m/s。 (a)平均能量密度和最大能量密度
I8.5?10?3W???2.5?10?5J?m?3 u340Wmax?2W?5.0?10?5J?m?3(b)两个相邻相面间的空气能量E
Du0.142340E?W??()2?2.5?10?5?()?5.11?10?7J
2?2256
12．为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率，如果波源发出的是球面波，求距波源0.5m和1.00m处的能流密度（设介质不吸收能量）。
解：平均能流密度等于单位单位面积上的功率，因此5m处的能流密度为
I?同理有：1m处为0.318Wm-2
P4?2 ??1.273Wm224?x4?(0.5)13．设平面横波1沿BP方向传播，它在B点振动的运动方程为y1=2.0×10-3cos2πt，平面横波2沿CP方向传播,它在C点振动的运动方程为y2=2.0×10-3cos（2πt+π），两式中y的单位是m，t的单位是s。P处与B相距0.40m，与C相距0.50m，波速为0.20m/s，求：(a)两波传到P处时的相位差；(b)在P处合振动的振幅。
解：(a)求两波在P点相位差： 1点在P点引起的振动为：
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y1p?2.0?10?3cos(2?t?2?0.40)?2.0?10?3cos(2?t?4?) 0.202点在P点引起的振动为：
y1p?2.0?10?3cos(2?t?2?0.50??)?2.0?10?3cos(2?t?4?) 0.20相位相同，相位差???0。
(b)合振动振幅：由于相位相同，合成波的振幅为两波振幅相加
A?4.0?10?3
m
14．平面波斜入射到两种介质（各向同性）的界面，进入到介质2时将发生折射，设该波在介质1和介质2的波速比为5：3，试用惠更斯原理作图画出折射后波的传播方向。
解：注意两波在不同介质中的波速不一样。图4-1以波在介质1中波速快为例作图。
15．已知飞机马达的声强级为120dB，求它的声强。 解：已知声强级为120dB，由声强级定义可知
120dB?10logI,I0?10?12Wm?2I0
logI?logI0?12?0I?1Wm?2
16．两种声音的声强级相差1dB，求它们的强度之比。 解：设两种声音的声强级分别为A和A+1，
A?1?10log导出 I(A?1)?10A?110I(A?1)I0
I0
IA I0A?10logA10IA?10I0
消去I0,有
I(A?1)IA?10A?110A10?10110?1.26
10
17．频率为50000Hz的超声波在空气中传播，设空气微粒振动的振幅为0.10×10-6m，求
13
其振动的最大加速度和最大速度。
解：
vmax?A??A2???0.10?10?6?2??50000?3.14?10?2ms?2amax?A??A(2??)?9.97?10ms
223?2
18．装于海底的超声波探测器发出一束频率为30000Hz的超声波，被迎面驶来的潜水艇反射回来。反射波与原来的波合成后，得到频率为241Hz的拍。求潜水艇的速率。设超声波在海水中的传播速度为1500m/s。
解：本题中的潜水艇接收探测器的超声波然后再反射，所以潜水艇首先是接收者，其次是发射者，这是一个双向多普乐效应问题。设超声波波速为u,潜水艇速度为ν，运用双向多普乐公式，再根据拍频的定义有：
u?v????241 u?v解出??6ms?1
19．对遥远星系发来的光谱分析表明，有一些在实验室已确认的谱线显著地移向了长波端，这种现象叫做谱线红移。谱线红移可以解释为由于光源的退行速度所引起的多普勒频移。例如，钾光谱中易辨认的一对吸收线K线和H线，在地面实验室中是出现在395nm附近；在来自牧夫星座一个星云的光中，却在波长447nm处观测到了这两条谱线。试问该星云正以多大的速度离开地球？
解：多普乐效应可以应用在光学问题上，但应考虑相对论效应，应用光学多普乐公式
?'?对于本题?'?447nm,?=395nm 代入公式解出u=0.123c。
c?u? c?u 14
第五章 分子物理学
习题解答
1．压强为1.32×107Pa的氧气瓶,容积是32×10-3m3。为避免混入其他气体，规定瓶内氧气压强降到1.013×106Pa时就应充气.设每天需用0.4m3、1.013×105Pa的氧，一瓶氧气能用几天？
解：用可以使用的气体总量除以每天的使用量即可得到使用的天数。设气体总量为PV，可以用到的最小数值为P*V*，设每天的使用量为Δ(PV)。则可以使用的天数n为：
PV?P*V*132?105?10.13?105n???32?9.6
?(PV)1.013?105?0.4一瓶氧气可以使用大约9.6天。
2．一空气泡，从3.04×105Pa的湖底升到1.013×105Pa的湖面。湖底温度为7℃，湖面解：设气体在湖底时的状态参量为p1V1T1，在湖面时的状态参量为p2V2T2，设气体为理
温度为27℃。气泡到达湖面时的体积是它在湖底时的多少倍？ 想气体，满足理想气体方程，考虑到气体总量不变，应有
p1V1p2V2 ?T1T2V2p1T23.04?105?300所以 ???3.22 5V1p2T11.013?10?280气体到达湖面时体积扩大为湖底的3.22倍。
3．两个盛有压强分别为p1和p2的同种气体的容器，容积分别为V1和V2，用一带有开关的玻璃管连接。打开开关使两容器连通，并设过程中温度不变，求容器中的压强。
解：设气体的摩尔质量为μ，质量分别为M1和M2，由理想气体方程有
p1V1?M1?1RT p2V2?M2?2RT
相通合并后气体压强相同，总质量为M1+M2，总体积为V1+V2，应用理想气体方程有
p(V1?V2)?M1?M2?RT?p1V1?p2V2
?
p?p1V1?p2V2
V1?V24．在推导理想气体动理论基本方程时，什么地方用到了平衡态的条件？什么地方用到
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