习题六解答
A类
1．求w?3z在z=i处的伸缩率和旋转角，问w?3z将经过点z=i且平行于实轴正向的曲线的切线方向映射成w平面上哪一个方向？并作图。
解 由题w'?3z??6z，从而
222??2?6i??argw'?i??arg?2，w'?i??|6i|?6，当z?i时，
?w?3?i???3，即z?i，w??3，且旋转2。
2．求映射w?iz下，下列图形映射成什么图形？ （1）以z1?i，z2??1，z3?1为顶点的三角形。 （2）闭圆域：|z?1|?1。 解
（1）在w?iz下，z1?i，z2??1，z3?1，被映成w1??1，w2??i，w3?i，即将三角形映成三角形。
（2）在w?iz下，z1?0，z2?1?i，z3?2，被映成w1?0，w2??1?i，w3?2i，由保圆性知z?1?1被映成z?i?1。
3．证明映射
w?z?111u?(c?)cos?v?(c?)sin?ccz把圆周z?c(?0)映射成椭圆：，。
-1 z2 z z i z1 w=iz
1 z3 O -1 w1 w2 -i w w w3 i w z1 O w3 z2
z3 2 w=iz
w2 w1 O
证 设z?r(cos??isin?)，w?u?iv，则
w?z?11?r(cos??isin?)?zr(cos??isin?)
cos??isin?11?(r?)cos??i(r?)sin?rrr(cos2??sin2?)
rcos??risin?? =
11w?(c?)cos??i(c?)sin?cc又z?c，即r?c，所以从而
11u?(c?)cos?v?(c?)sin?cc，。
4．证明在映射w?e下，互相正交的直线族Rez?c1与Imz?c2依次映射成互相正交的
iz?2c22直线族v?utanc1与圆族u?v?e2
iz?y证设z?x?iy，w?u?iv，Rez?c1?x，Imz?c2?y，所以w?e?e(cosx?isinx)，
即u?e?c2cosc1，v?e?c2sinc1，v?utanx?utanc1是一族直线，u2?v2?e?2y?e?2c2是一族圆，
显然，过原点的直线与以圆点为心的圆是正交的。
25、映射w?z把上半个圆域：z?R，Imz?0,映射成什么？
2解：因w??2z，除原点外是保角映射，所以把z?R，映射为w?R;0?argz??映射
为0?argw?2?即映射成除正实轴外，以原点为圆心，R2为半径的圆。
v w
y B (z) B′′ A C x
-RO D R w?z2
O A' -R2′
C' u 6、求下列区域在指定的映射下的像域.
（1）Rez?0,w?iz?i. （2）Imz?0,w??1?i?z. （3）
0?Imz?111,w?Rez?1,Imz?0,w?.2z （4）z
解（1）
Rez?在w?iz?i下，A:z?0?A':w?i,B:z????B':w???i?i;所以
Rez?0?Imw?1,即映射成w平面上Imw?1的上半平面。
（2）Imz?0在映射w??1?i?z下，z平面上点z??1,0,1,i依次映射为w平面上点
w??1?i,0,1?i,i?1.所以Im?w??Re?w?。
y (z) A w=iz+i
B x (w) v B '
A' i O O O u
A y (z) D yu (w) w=(x-y)+i(x+y) x C' B C B' uu A'
1i1?ii?1?ii10?Imz?w?z????,,,,???.22222依2在映射z下，（3）将z平面上的点
次映射为w平面上的点w?0,1?i,?2i,?1?i,0;即将z平面实轴映为w平面实轴，z平面上直线y?12映为w平面上圆周|w?i|?1，所以映射成区域为|w?i|?1,Im?w?0?.
z
y (z) C B -1/2 A v(w) w?1z
x A' D' O u i' B' O 1/2
G' （4）Rez?1,Imz?0,在映射
w?w?1z下,Rez?1,Imz?0,即x?1,y?0，而
11x??2,zx?iyx?y2故Imw?0,Rew?0.
又由
z?1?w?1,z?1?i??w?0,z?1?i?w?1111?i,|w?|?22此三点为22上三点，依
11|?22
饶向确定区域实轴映为实轴、映射区域为：
y O 1 x Imw?0,|w?
z v w D w?1z 1/2 O G u
7．求把上半平面Imz?0映射为单位圆|w|?1的分式线性映射w?f?z?,并满足条件：
（1）f?i??0,f(?1)?1. （2）f?i??0,argf'?i??0. 解（1）所求分式线性映射应有下列形式.
故
（2）由f?i??0,知
w?ei?w?ei?z??,z??由f?i??0,f??1??1得??i,k??i，
w??iz?i.z?i
?z?iz?i??w?i2，故z?i，由argf'?z??0得z?i
8．求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满足条件： ?1??1??1??f???0,argf'???f???0,f??1??1.?2?2. （1）?2? （2）?2?w?ei?解（1）所求分式线性映射为故
?1?z??f???0,??11??z，由?2?2由f??1??1，得???，知
??2z?1z?2.
34i??1?i?2z?1i?1w?e,w'?e,w'?e,1f???0a?2z?2?z3??2?z222，从而有（2）由??知由
?1??argf'???,???,w?i2z?1?2?2知2?z. 2故
9.把点z?1,i,?i分别映射成点w?1,0,?1的分式线性映射把单位圆|z|?1映射成什么？并求出这个映射。
解 由分式线性映射的保交比不变性可知，有交比式
?z?i??1?i?w?1?1?1z?1?i?1w?：?:?1?z??3i?1?z?.由绕向确定，把|z|?1映射成w?0?1?0z?i?i?i解之得：
Imw?0.
y D 1 -i ?z?i??1?i?w??1?z??3i?1?z?
x v -1 O 1 G u
10.把下面各图阴影部分所示(边界为直线段或圆弧)的域D保形地且互为单值地映射成上半平面G，求出实现各该映射的任一函数.
x O (1) y (2) y (3) y x x
3单位圆外部，且沿虚轴 |z|?2,0?argz??Imz?1,|z|?22 由i到∞有割痕
y (4) (5) (6) y y ai 解 故
x
x
沿连结点z=0和z=ai的线
段有割痕的上半平面
x {z：|z|}??z：0?z?1? |z|?2|且|z?1|?
y z w1?z23w1 ?2 23D1 w2?w1?2w1?22323w2 O O 2 x -2i w3 w3?ew22i2 23 -i D2 D3 w v ? 2w?w3 O Gu u 2w1?w3??iw2?22??w?23???123??w1?22??2?z3?23???2?????233???z?2??为所求。 ?22 （2）
O w2z y -3?i R O ?3?i?w?3?i z??3?i? z?1w v D1 u w2?e?i?w1
x D2 3w?w2 v O G u