3w?w2???w1?33故
?z?3?i??????z?3?i?? ???（3） -1
w3?w
?1?w22z- w1 D z?iw1?z?iw2 i D1 2 w2?ew1 i 1 x i ? D2 w4 w4?1?wD4 w?w124w O G O w?w??1?w3?2?1?w1241?1222??1221???z?i???1???z?i????2????为所求。
w212（4）
w?w122y D w1?z 2w1 w1D1 w2?w1?a2 D2 x O x w O x O O G
122故w?w??w1?a(5)
-1 y 122???z2?a122?为所求。
w1 D w1?z12 1 ?i?x -1 w3?ew D3 i D1 O 1 w2?w1?1w1?1w2 O D2 i 2w?w3 G O O ?1?2w?1z?1?222w?w3?（?w2）?（1）??1??w1?12??z?1?? 故
2（6） w3?2?w 故 w?ew3z D O y w1?zz?2 1 2 w1 D1 w2?ew1212i?w2 x 1?i2 12 w G i D2 2 w3 ?i D3 w?e w3 O O 2?izz?2?e2?w2?e2?iw1?e为所求。
B类
1．设w?f?z?是单位圆盘到自身的分式线性映射，证明对于单位圆内任意两点z1,z2有
z1?z21?z1z2?w1?w2,1?w1w2wk?f?zk??k?1,2?
证 由
w?f?z??ei?z?a1?az???R,|a|?1?zk?a,1?azk于是
k?1,2.wk?f?zk??ei?w1?w2?ei?i?
?z1?a??1?az2???z2?a??1?az1??1?az1??1?az2??z1?z2?（1?|a|2）e?1?az1??1?az2? =
?z1?a??z2?a?（?1?z1z2?1?|a|2）???1?w1w2?1?????1?az??1?az?(1?az)?1?az?1??2?12?
从而
2w1?w21?az1??1?az2?i?1?|a|?z1?z2??z1?z2?e?21?w1w21?a?1?z1z2??1?az1??1?az2?1?z1z2
????2．求出一个把右半平面Rez?0映射成单位圆|w|?1的保形映射。
?2解 如图所示首先做变换w1?e?z将D:Rez?0映为上半平面Imw1?0，再做
iz y w1 w??w
y w?ei?w1??(Im??0w2???为实数）可将上半平面Imw1?0映为单位圆盘w?1，复合上述映射，
得
?w?ei?e2?z???ie2?z??i?ei?iz??iz??
若令??i?，则
w?ei?z??z??（Re??0,?为实数）。
13．求出一个单位圆到自身的分式线性映射，使得2，2为不变点，?5?3i?/4变为无穷
远点。
解 由题知
z1?15?3i1z?w?314分别映为2，w2?2，w3??，故由分式线2，z2?2，
性映射的保交比不变性可知。 w?115?3i111z??w?z?2?2:42?2?2?3i?3w?2z?25?3i?2w?2z?23?3i4
（1?4i)z?2?2iw?2?1?i?z?i?4. 从中解出
4．求
w?iz?2z?2将|z|?2映射成的区域。
z?2z?2下，在|z|?2上取相异点z1??2i,z2??2,z3?2i,z4?2,则分别映为
解 在
??iw1??1,w2?0,w3?1,w4???,故|z|?2映为实轴Imz?0.另取z?0,知w??i,故|z|?2在
w?iz?2z?2下映为Imw?0.
5.求把z平面上的区域
0?argz??2映射成w平面上的区域Imw?0,且把点z1?2i，
z2?0，z3?1依次映射成w1?0，w2??，w3??1的保形映射。
解 首先做变换w'??2，将z平面上角形域
0?argz??2映射成Imw'?0，且同时把点
z1?2i，z2?0，z3?1依次映射成点w'1??2，w'2?0，w'3?1。
再做变换将w'1??2，w'2?0，w'3?1分别映为w1?0w2??，w3??1，由保交比性知。 ?w?w'?21?2w'?2:w??w'?01?0，则3w
z2?2w??3z2。 故复合上述映射得
6．试将Imz?0保形映射成等腰直角三角形，而且使z?0,1,?分别于w?0,a,a?ai?a?0?相对应。
解
O z1 z2=1 z3=∞
z w ai w2?a?1?i?
w1=0 w2?a ???w1w2w3在w1和w3处的内角分别为4，在w2处的内角为2，点z1?0，z2?1，和z3??分别对应于?w1w2w3的三个顶点w1?0,w2?a,和w3?a?1?i?。
根据退化情形的施瓦兹—克里斯托费尔映射公式，即得映射为
w?f?z??A?z0z?????1???4???z?????4????1???dz?B
2?A?z0z?34??z?1?dz?B?A??12z3dzz?z?1?04?B
当z?0时对应w?0，则B?0。当z?1时对应于w?a，则
a?A?11x3?x?1?204dx，
A?a/?1dxx3?x?1?
204于是所要求的保形映射为
???A????????????
w?A?zdzz3?z?1?20?1adxx3?x?1?204其中
31?41A?a?x0?1?x??2dx?a?1??1????????4??2??3?????4?