?3?a????4??a2??1?1?a2??1??1??1???1???1??2?????????????????4??2??4??4????4?? =
7．求把上半z平面映射成w平面中如下图所示的阴影部分的保形映射，并使x?0对应于A点，x??1对应于B点。
解 阴影部分为一无界的三角形域，其中顶点分别为w1??i，w2??，w3??，顶角分别为
A???A???v w B πi C??? O u C???
?1??32，?2?0，
?3???2，设x1??1，x2?0分别对应w1（B点），w2（A点），
令x3??对应w3（C点），这样z平面中实轴上??,?1?对应w平面中虚轴上CB边；（-1，0）对应BA为（Imw??,Rew?0）;?0,??对应实轴上AC边，由多角形区域的映射公式
??k??z?1??z?0??1dz?c?k??k2z?1?ln12z?1dz?cz
??z?1?1z?1?1?c
又z??1对应w??i，故由上式有k??i??c??i，记k?k1?ik2，c?c1?ic2，知c1?k2?，
c2?k1???，另注意到z?1与
lnz?1?1z?1?1均取主值分支，且当z?x沿z平面上正实轴趋于
?时，相应的
?z?1?1?w?k?2z?1?ln??cz?1?1????
在w平面实轴上趋于?，（?0,??对应实轴上AC边），其虚部Imw?0。于是
?x?1?1???0?lim?Imw?c2?lim2x?1k?kln??22z?x??x?????x?1?1??
???2tt?1??c2?lim?lne??k2t????t?1?
2t?t?1?lime?????t???t?x?1t?1??其中，因为，故若使上式成立，需k2?0，c2?0，再由上面所
设可确定出常数k与c分别为k?1,c?0，所求映射为
w?2z?1?lnzz?1?1z?1?1。
8．试证明函数方形内部。
z w??0z1?z?dz2??1??2??将上半平面Imz?0映射成为一个边长等于22??4?的正
1D C ?
-1 0 1 A B 解 首先，若ABCD是任给一正方形，由保角映射的原理，存在惟一的映射，将第一
象限的角域（x?0,y?0）映为三角形ABC的内部，且点0,1,?分别映为顶点A，B，C，如上图。同时，正虚轴映为对角线AC。
由对称原理，此映射越过正虚轴的解析延拓构成一个保角映射w?f?z?，将整个上半平面Imz?0，映成正方形ABCD，且点?1,0,1,?分别对应D，A，B，D，则
w?f?z??c1??z?1?20z1?1
?z?0?2?1dz?c21
即
w?c1?zdzz1?z0?2??c2
故
w??zdzz1?z2
0??可将Imz?0映成正方形的内部。
l??1??2??22??4?。 1再证此正方形边长
由于0?z?1，与AB边对应，则
1?d?l?|AB|??dz??x21?x20dz011???12dx??t01?34?1?t??12dt2
?1t2?011?14?1?t?1?12?1??1???????1?4??2?1?1?dt???2??2?3?22??4?????4?
9．试将Imz?0保形映射成具有锐角?/6，?/3，的直角三角形，而且使z?0，1，?w?0,a,a?ai3，对应(a?0)。
分别与
解 与6题同理，可知所求映射为
w?f?z??A?z0z?????1??6???z?1???2
????1???dz?B
?A?z0z?56?z?1??2dz?B1当z?0时，对应于w=0，则B?0，当z=1时对应于w?a，则
此处引用a?A?1?560x?x?1??12dx。
5A?a?1x?6?11126?112?10?x?1?dx?a?0x?x?1?dx
???1??1??2??a?6?????2??a?????3??2a????2??3?????1??1??1??1??6?????2?????6?????3??
B?a,b???1xa?1?1?x?b?10dx
??a????xa?1e?x???a???b?0dx，
B?a,b???a?b????1??2????,??a???1?a???sina?。