（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。
说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB 例题：
a 例1、已知：2的值. 分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法： (1)设比值为k;
(2)比例的基本性质；
(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.
a?bbca?b,?.求:354b?c解：由2354，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设a=10k,b=15k,c=12k, 则
(a+b):(b－c)=25:3.
例2 已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作EF∥BC，分别
1?b及b?c交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2)AD?1BC?2EF;(3)若MN为梯形中位线，求证AF∥MC.
分析：
(1)利用比例证明两线段相等的方法.
a
①若da??cdbac,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)； ,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)；
a''②若dad,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′. ③若dd,d(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.
1??c''(3)证明ADc?c?1BC?2EF1时，可将其转化为“a?1b?1c”类型后：
①化为ab直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1； ②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.
(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题. 延长BA，CD交于S，AF∥MC
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?1
∴ AF∥MC成立.
(5)用运动的观点将问题进行推广.
若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么?
(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等
例3 已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M.求证：AF⊥BE. 分析：
(1)分解基本图形探求解题思路.
(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)
AD
的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到DCAD?DF?DECF
CE,结合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此结合中点定义得到BC∠1=∠2.进一步可 得到AF⊥BE.
(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③ 三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面 积关系.
例4 已知：如图5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F. 求证：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE. 分析：
掌握基本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用结论. ①勾股定理：AC2+BC2=AB2. ②面积公式：AC·BC=AB·CD.
③三个比例中项：AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,CD2=DA·DB.
AC22BD ⑤BC证明：第(1)题： ∵ CD2=AD·BD,
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?AD∴ CD4=AD2·BD2=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC) =(AE·BF)·(AB·CD). 第(2)题：
BC22AD?AB ∵AC第(3)题：
?BD?BA?BDADBD,利用ΔBDF∽ΔDAE，证得ADBDAD?DFEA?CEAE,命题得证.
BC2244∵ACBC?BD?ABAD?ABBDAD22?,
BC33 ∴AC??BF?BCAE?AC,∴AC?BFAE
四.圆
知识点：
一、圆 1、圆的有关性质
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。 由圆的意义可知：
圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。 能够重合的两个圆叫等圆。 同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。 二、过三点的圆 l、过三点的圆
过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心
定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 2、反证法
反证法的三个步骤：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。 证明：设有两个以上是钝角 则两个钝角之和＞180°
与三角形内角和等于180°矛盾。
∴不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。 三、垂直于弦的直径
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
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推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 五、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。 六、圆的内接四边形
多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 例如图6—1，连EF后，可得： ∠DEF＝∠B
∠DEF＋∠A＝180°
∴∠A＋∠B＝18ry ∴BC∥DA
七、直线和圆的位置关系
1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。
2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
直线和圆相交?d＜r；直线和圆相切?d＝r；直线和圆相离?d＞r；直线和圆相交?d＜r 例如：图6－2中，直线与圆O相割，有：r＞d 图6－3中，直线与圆O相切，r＝d 图6－4中，直线与圆O相离，r＜d
八、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。 推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点。 ∠B＝90°
则有BC是切线 OD是半径 OD⊥AC
九、三角形的内切圆
要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切 ∵角平分线上的点到角的两边距离相等。
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∴两条分角线的交点就是圆心。
这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 十、切线长定理
经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。
切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－6
B、C为切点，O为圆心。 AB＝AC，∠1＝∠2
十一、圆和圆的位置关系如图6－9
若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则： 1、两圆外离?d ＞R＋r； 2、两圆外切?d = R＋r；
3、两圆相交?R－r＜d＜R＋r（R＞r） 4、两圆内切?d = R－r；（R＞r） 5、两圆内含?d＜R－r。（R＞r）
定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。 如图6－10，O1，O2为圆心，
则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分
十六、正多边形和圆
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。 定理：把圆分成n（n＞3）等分：
（l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。 正n边形的每个中心角等于
360n?
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。 十七、正多边形的有关计算 正n边形的每个内角都等于
(n?2)180n?
定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。 十八、画正多边形 1、用量角器等分圆 2、用尺规等分圆
正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。 正五边形的近似作法；
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