专题限时集训(四) 平面向量 (对应学生用书第86页) (限时：120分钟)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)
→3?→?13??1
1．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知向量BA＝?－，?，BC＝?，?，则∠ABC＝
?22??22?________.
→→
BA·BC60° [cos∠ABC＝
→→|BA|·|BC|
1133－×＋×2222
＝
?－1?2＋?3?2×
?2??????2??1?2＋?3?2?2??????2?
1
＝，所以∠ABC＝60°.] 2
2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________． －5 [∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]
3．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知a，b均为单位向量，且(2a＋b)·(a－2b)＝33－， 则向量a，b的夹角为________.
2
【导学号：56394025】
π33 [向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝|b|＝1，所以(2a＋b)·(a－2b)＝－3a·b＝－3cos θ＝－，62即cos θ＝
3π
，θ＝.] 26
4．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一 次诊断性检测)设向量a＝(cos x，－sin x)，b＝
?－cos?π－x?，cos x?，且a＝tb，t≠0，则sin 2x的值等于________．
??2??????
??π??±1 [因为b＝?－cos?－x?，cos x?＝(－sin x，cos x)，a＝tb，所以cos xcos x－(－sin x)(－sin
??2??
kπππ
x)＝0，即cos2x－sin2x＝0，所以tan2x＝1，tan x＝±1，x＝＋(k∈Z)，2x＝kπ＋(k∈Z)，sin
2
4
2
2x＝±1.]
5．(河北唐山市2017届高三年级期末)设向量a与b 的夹角为θ，且a＝(－2,1)，a＋2b＝(2,3)，则cos θ＝________.
- 1 -
3a·b－4＋13－ [因为(a＋2b)－a＝2b＝(4,2)，所以b＝(2,1)，所以cos θ＝＝＝－.] 5|a||b|55×56．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.
10 [因为a⊥b?a·b＝0?x－2＝0?x＝2，所以|a＋b|＝|(3，－1)|＝10. ]
→→7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP＝AB→→→
＋λAC，且BP·CP＝1，则实数λ的值为________．
→→→1
－或1 [△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，点P满足AP＝AB＋λAC， 4→→→→→∴AP－AB＝λAC，∴BP＝λAC；
→→→→→→→→又CP＝AP－AC＝(AB＋λAC)－AC＝AB＋(λ－1)AC， →→→→→∴BP·CP＝λAC·[AB＋(λ－1)AC] →→→
2
＝λAC·AB＋λ(λ－1)AC
＝λ×2×1×cos 60°＋λ(λ－1)×2＝1， 12
整理得4λ－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1，
41
∴实数λ的值为－或1.]
4
→→
8．(天津六校2017届高三上学期期中联考)D为△ABC的边BC上一点，DC＝－2DB，过D点的直线分别交→→→→21
直线AB、AC于E、F，若AE＝λAB，AF＝μAC，其中λ＞0，μ＞0，则＋＝________.
2
λμ→2→1→→→→→2121
3 [因为AD＝AB＋AC＝mAE＋nAF＝mλAB＋nμAC(m＋n＝1)，所以mλ＝，nμ＝?＋＝3m＋3n3333λμ＝3.]
→
________．
9
－ [设A(a，b)，B(c，d)， 4→→
∵AC＝(1,2)，BD＝(－2,2)， ∴C(a＋1，b＋2)，D(c－2，d＋2)，
→
→
→
9．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知平面向量AC＝(1,2)，BD＝(－2,2)，则AB·CD的最小值为
- 2 -
→→
则AB＝(c－a，d－b)，CD＝(c－a－3，d－b)， →→
2
∴AB·CD＝(c－a)(c－a－3)＋(b－d)
3?299?222
＝(c－a)－3(c－a)＋(b－d)＝?c－a－?－＋(b－d)≥－. 2?44?→→9
∴AB·CD的最小值为－.]
4
→→→→→→→→
10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一) )已知向量AB，AC，AD满足AC＝AB＋AD，|AB|＝2，|AD|＝1，
→→→→5
E，F分别是线段BC，CD的中点，若DE·BF＝－，则向量AB与AD的夹角为________.
4→→→→→→
22→→→→→→πADABABAD5AD·AB55→→5
[DE＝AB－，BF＝AD－，∴DE·BF＝－－＋＝－＋AB·AD＝－. 322224244→→→→→→1π∴AB·AD＝1，cos〈AB，AD〉＝，∴AB与AD的夹角为.]
23
11．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图4－8，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，→→→→
OC＝5，若AB·AD＝－7，则BC·DC的值是________.
【导学号：56394026】
图4－8
9 [平面四边形ABCD中，O为BD的中点， →→
且OA＝3，OC＝5，∴OB＋OD＝0； →→
若AB·AD＝－7，
→→→→→→→→→→→
2
则(AO＋OB)·(AO＋OD)＝AO＋AO·OD＋AO·OB＋OB·OD →→→→→22
＝AO＋AO·(OD＋OB)－OB →2
＝3－OB＝－7；
2
→2
∴OB＝16， →→
∴|OB|＝|OD|＝4；
- 3 -
→→→→→→∴BC·DC＝(BO＋OC)·(DO＋OC) →→→→→→→
2
＝BO·DO＋BO·OC＋DO·OC＋OC →→→→
2
＝－BO＋OC·(BO＋DO)＋OC
2
→
2
＝－4＋0＋5＝9.]
12．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交→→→→→→
于E，F，且交其对角线AC于K，若 AB＝2AE，AD＝3AF，AC＝λAK(λ∈R)，则λ＝________. →→→→1→1→→1→→2→3→
5 [由平行四边形法则，知AC＝AB＋AD，所以AK＝AC＝(AB＋AD)＝(2AE＋3AF)＝AE＋AF，又E，
2
λλλλλK，F三点共线，所以＋＝1，解得λ＝5.]
λλ→→→→→→
13．(江苏省南京市2017届高考三模)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且AC·BD＝0，(AB＋DC)·(BC＋AD)＝5，则四边形ABCD的面积为________． →→
3 [∵AC·BD＝0，∴AC⊥BD， →→→→
∵(AB＋DC)·(BC＋AD)＝5，
→→→→→→→→→→→→→→
22
∴(AB＋BC＋DC＋CB)·(BC＋CD＋AD＋DC)＝(AC＋DB)·(BD＋AC)＝AC－BD＝5， →→22
∴AC＝BD＋5＝9，∴AC＝3.
11
∴四边形ABCD的面积S＝×AC×BD＝×3×2＝3.]
22
14．(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的→2→1→→
单位圆上一动点，点Q满足AQ＝AP＋AC，则|BQ|的最小值是________．
33
37－233??333??3
[如图建立平面直角坐标系，设P(cos θ，sin θ)，则A(0,0)，B?－，－，C?，－ ??；32??22??2
23
→2→1→21?333??2123?AQ＝AP＋AC＝(cos θ，sin θ)＋?，－＝?cos θ＋，sin θ－?. ?3333?22??3232?
- 4 -
→→→22??BQ＝BA＋AQ＝?cos θ＋2，sin θ＋3?，
3?3?
→则|BQ|＝
?2cos θ＋2?2＋?2sin θ＋3?2＝
?3??3?????
6747
＋93
θ＋α≥
6747
－＝93
67－12737－2
＝.] 93
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15．(本小题满分14分)已知直线l1与圆C：(x－1)＋(y－2)＝4相交于不同的A，B两点，对平面内任→→→→→
意的点Q都有QC＝λQA＋(1－λ)QB.设P为直线l2：3x＋4y＋4＝0上的动点，求PA·PB的最小值． →→→
[解] 由QC＝λQA＋(1－λ)QB可知，A，B，C三点共线，即弦AB为圆C的直径.
→→→→→→→→→
222
又因为P为直线l2：3x＋4y＋4＝0上的动点，且PA·PB＝(PC＋CA)·(PC＋CB)＝PC－CB＝PC－4，故→→→
PA·PB的最小值为PC2－4的最小值.
10分
2
2
→→→3＋8＋4
又因为圆心C(1,2)到直线l2：3x＋4y＋4＝0的距离为＝3，故|PC|min＝3，所以PA·PB的最小值为
59－4＝5.
14分
16．(本小题满分14分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知向量m＝(3cos x，－1)，
n＝(sin x，cos2x)．
π
(1)当x＝时，求m·n的值；
3
31?π?(2)当x∈?0，?，且m·n＝－，求cos 2x的值．
4?32?
π311?3??31?
[解] (1)当x＝时，m＝?，－1?，n＝?，?，∴m·n＝－＝. 6分
3442?2??24?(2)m·n＝3sin xcos x－cosx＝若m·n＝
2
π?1311?sin 2x－cos 2x－＝sin?2x－?－，8分
6?2222?
π?313?－，则sin?2x－?＝，
6?332?
π?ππ??π?∵x∈?0，?，∴2x－∈?－，?，
4?6?63??π?6?∴cos?2x－?＝. 6?3?
ππ?π?ππ?π633132－3???∴cos 2x＝cos?2x－＋?＝cos?2x－?cos－sin?2x－?sin ＝×－×＝. 66?6?6?6632326???17．(本题满分14分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知三点A(1，－1)，B(3,0)，
- 5 -