→→→→→→→
C(2,1)，P为平面ABC上的一点，AP＝λAB＋μAC且AP·AB＝0，AP·AC＝3. →→(1)求AB·AC； (2)求λ＋μ的值.
【导学号：56394027】
→→
[解] (1)因为AB＝(2,1)，AC＝(1,2)， →→
所以AB·AC＝2＋2＝4.4分 →→→→
(2)因为AP·AB＝0，所以AP⊥AB， →→
因为AB＝(2,1)，设AP＝(a，－2a)，
→→
因为AP·AC＝3，所以(a，－2a)·(1,2)＝3，a－4a＝3，a＝－1，8分 →→
AP＝(－1,2)，因为AC＝(1,2)，所以(－1,2)＝λ(2,1)＋μ(1,2)，10分
??－1＝2λ＋μ，所以?
?2＝λ＋2μ，?
2分
6分
1
则λ＋μ＝. 3
14分
18．(本小题满分16分)如图4－9，已知点O为△ABC的外心，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，
→→→
c，且2OA＋3OB＋4OC＝0.
图4－9
(1)求cos∠BOC的值；
(2)若△ABC的面积为15，求b＋c－a的值．
→→→→→→
[解] (1)设△ABC外接圆的半径为R，由2OA＋3OB＋4OC＝0得3OB＋4OC＝－2OA， 两边平方得9R＋16R＋24Rcos∠BOC＝4R， －21R7
所以cos∠BOC＝2＝－.
24R8
2
2
2
2
2
2
2
2
6分
7?π?cos∠BOC＝cos 2
(2)由题意可知∠BOC＝2∠BAC，∠BAC∈?0，?，2∠BAC＝2cos∠BAC－1＝－，从而cos
2?8?1
∠BAC＝，10分
4
- 6 -
所以sin∠BAC＝1－cos∠BAC＝
2
15， 4
1151222
△ABC的面积S＝bcsin∠BAC＝bc＝15，故bc＝8，从而b＋c－a＝2bccos∠BAC＝2×8×＝4.16
284分
→→
19．(本小题满分16分)已知两定点M(4,0)，N(1,0)，动点P满足|PM|＝2|PN|. (1)求动点P的轨迹C的方程；
→→
(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A，B两点，令f (a)＝GA·GB，求f (a)的取值范围．
→→
[解] (1)设P的坐标为(x，y)，则PM＝(4－x，－y)，PN＝(1－x，－y)． →→
∵动点P满足|PM|＝2|PN|，∴整理得x＋y＝4.
2
2
－x2
＋y＝2
2
－x2
＋y，
6分
2
2
2
(2)(a)当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝a，不妨设A在B的上方，直线方程与x＋y＝4联立，→→
222
可得A(a，4－a)，B(a，－4－a)，∴f (a)＝GA·GB＝(0，4－a)·(0，－4－a)＝a－4；
2
2
(b)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－a)，
代入x＋y＝4，整理可得(1＋k)x－2akx＋(ka－4)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2akka－4
则x1＋x2＝2，x1x2＝2，
1＋k1＋k→→
222
∴f (a)＝GA·GB＝(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a＋k(x1－a)(x2－a)＝a－4. 由(a)(b)得f (a)＝a－4. ∵点G(a,0)是轨迹C内部一点， ∴－2
∴－4≤a－4<0，∴f (a)的取值范围是[－4,0).
2
22
2
22
2
2
2
2
2
22
14分
16分
3. 2
20．(本小题满分16分)已知a＝(sin x，3cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数f (x)＝a·b＋(1)求函数y＝f (x)图象的对称轴方程；
1
(2)若方程f (x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
3[解] (1)f (x)＝a·b＋
332
＝(sin x，3cos x)·(cos x，－cos x)＋＝sin x·cos x－3cosx＋22
6分
π?313?＝sin 2x－cos 2x＝sin?2x－?.
3?222?
- 7 -
ππ5πkπ
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
321225πkπ
即函数y＝f (x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z).
122
8分
π?π?15π2π??(2)由条件知sin?2x1－?＝sin?2x2－?＝＞0，设x1＜x2，则0＜x1＜＜x2＜，易知(x1，f (x1))
3?3?3123??与(x2，f (x2))关于直线x＝
5π?5π5π??5π???对称，则x1＋x2＝，∴cos(x1－x2)＝cos?x1－?－x1??＝cos?2x1－?6?126??6???
＝cos??????2xπ1－3???－π?2??π?1?＝sin??2x1－3??＝3. 16
分
- 8 -