Rt?PHM中tan?PMH?PH?HM3?3 11分 33得?PMH?arctan3，
故直线PM与平面ABC所成的角为arctan3（或arccos10310或arcsin） 12分 101020. （1）解法一：由f(x)?0，得cos?sinx?2?xx? ?3cos??022? 1分
xx??0，得?k??，x?2k???（k?Z） 4分 222xx由sin?3cos?0，
22xx?2?得tan??3，?k??，x?2k??（k?Z）． 7分
2233由cos所以方程f(x)?0的解集为?xx?2k???或x?2k?????2? ,k?Z?3? 8分
解法二：f(x)?13??3? sinx?(cosx?1)?sin?x???2232?? 4分??由f(x)?0，得sin?x????3k?，x??k??(?1)，k?Z， ???333?2??所以方程f(x)?0的解集为?xx?k??(?1)k?3??? ,k?Z?3? 8分
（2）f(x)?13??3? sinx?(cosx?1)?sin?x???223?2?因为x??0,???5????1???? 所以 所以x+?,sin(x?)??,1? 12分 ???3?36?3?2??2??1?33?,1?所以f(x)??? 14分 22??21. 解：（1）设P?x,y?，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以2分
? 2,0,?2,0为焦点，长半轴为2的椭圆，
???b2?2， 3分
x2y2故曲线C的方程为??1． 4分
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?x2y2?1??设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足?4 2?y?kx?1?消去y并整理得1?2k2x2?4kx?2?0， 5分
????32k2?8 6分
32k2?8 8分 AB?1?kx1?x2?1?k?1?2k2221232k2?82， 9分 k?,?k???1?k??32221?2k??????????（2）OA?OB 10分
2?????2?????212??122222OA?OB?x12?y12?(x2?y2)?x1?x2?2?1?x1?1?x2?
4?4?121?2k2?x1?x2? 12分 x1?x2??x1?x2??x1?x2??2221?2k?2因为A在第四象限，故x1?0．由,x1x2?知x2?0， 21?2k ?从而x1?x2?0．又k?0， 13分
???????2?????2??????????故OA?OB?0，即在题设条件下，恒有OA?OB 14分
22. 解：（1）由题意知，公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是：
当x??10,1000?时，
①f?x?是增函数；②f?x??1恒成立；③f?x??（2）对于函数模型f?x??x恒成立 4分 5x?2： 150当x??10,1000?时，f?x?是增函数， 5分 则f?x??1显然恒成立 6分 而若使函数f(x)?xx?2?在?10,1000?上恒成立，整理即29x?300恒成立， 1505而(29x)min?290， 8分 ∴f?x??x不恒成立． 9分 5故该函数模型不符合公司要求． 10分
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（3）对于函数模型g?x??ax?1?1
x??10,1000?时， g?x?显然单调递增 11分
g?x?min?10a?1?1?5?1?1?1成立．
∴g?x??1恒成立． 12分 方法一（分析法）：
欲证：x??10,1000?时，ax?1?1?2x恒成立 5?x?等价于ax?1???1?，x??10,1000?恒成立
?5?x22??,x??10,1000?恒成立 （***） 13分 25x5122x??在x??10,1000?单调递增 又y?25x5等价于a?故?22?1022?1x???????1
x5?min25105?25?1??a??,1?，所以（***） 成立 14分
?2?所以x??10,1000?时，ax?1?1?x恒成立 15分 5g?x??ax?1?1符合公司的模型 16分
方法二： 设h?x??ax?1?1?x，10?x1?x2?1000 5h?x1??h?x2??ax1?1?x1x?ax2?1?2=?55ax1?ax2ax1?1?ax2?1?x2?x1 5?a1????x1?x2??? ?ax?1?ax?15?12???10?x1?x2?1000,?ax1?1?10a?1,ax2?1?10a?1
aax1?1?ax2?1m?a??a?a210a?1
?1?,10a?1?n,a??,1?,?n??2,3?
210a?1?2?第 8 页 共 11 页
?m?1?1??n??单调递增 20?n?m?1?1?1a1??0 ?3???，所以
20?3?6ax1?1?ax2?15x?0单调递减 14分 5h?x??ax?1?1??1?h?x??h?10??10a?1?1?2?10a?1?3,?a??,1?
?2??10a?1?3?10?1?3?0 h?x??0恒成立
?ax?1?1?x恒成立 15分 5g?x??ax?1?1符合公司的模型 16分
23. 解：(1) 由题意得：d?a2?a1?m?1 1分
an?1??n?1??m?1?,an?1?1?n?m?1?,an?2?1??n?1??m?1? 2分
2 an, ?1?anan?2?1??1?n(m?1)???1?(n?1)(m?1)??1?(n?1)?m?1???1 3分
2?m?2 5分
（2）计算a3?m2?1，
a1?a3a?an?1?m，猜想n?1?m 7分 a2an欲证明
an?1?an?1?m恒成立
anan?1?an?1an?an?2恒成立 ?anan?1只需要证明
即要证明an?1?an?1?an?1??an?an?an?2?恒成立
即要证明an?1an?1?an?1?an?anan?2恒成立 （***） 9分
2?an,?an?1an?1?an?1,anan?2?an?1?1 10分 ?1?anan?2?12222（***）左边=an?1an?1?an?1?an?1?an?1
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（***）右边=an?an?1?1
所以(***)成立 11分 方法二：计算a3?m2?1，
222a1?a3a?an?1?m，猜想n?1?m 7分 a2an2an,an?an?1an?1?1 ?1?anan?2?122an?1?an?anan?2?an?1an?1
22an?1?an?1an?1?an?anan?2 9分
由于an?0，上式两边同除以anan?1， 得
an?1?an?1an?an?2?(n?2).
anan?1an?an?2an?1?an?1a?a38????1?.aaa3n?1n2所以， 11分
所以
an?1?an?1?m 是常数 11分
an2a1?a3m2?1?c（3）计算a3?m?1，???2，
a2m类比猜想
an?1?an?1??2 12分
an22an?1?anan?2?c,an?an?1an?1?c 22an?1?an?anan?2?an?1an?1
22an?1?an?1an?1?an?anan?2
由于an?0，上式两边同除以anan?1， 得
an?1?an?1an?an?2?(n?2).
anan?1an?an?2an?1?an?1a?a38????1?.an?1ana2 3所以，
所以
an?1?an?1??2 是常数 13分
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所以
an?1?an?1??2 14分
an?an?1?an???an?1?an??0 ?an?1?an????an?1?an?
?an?1?an???1?n?1?m?1?
?a1?1,a2?m,a3???2m?1?,a4??3m?2?
猜想?an???1?n??n?1?m?(n?2)? 15分
用数学归纳法证明：
显然n?1时，成立，
假设n?k时，ak?(?1)k??k?1?m??k?2??成立， 则n?k?1时，ak?1?(?1)k?1?m?1??ak
???1?k?1(m?1)?(?1)k???k?1?m??k?2???
k?1?ak?1???1??(m?1)??k?1?m?(k?2)?
?km?(k?1)????1?k?1?km?(k?1)? 17分
?ak?1???1?k?1所以对一切 n?N时，an?(?1)n??n?1?m??n?2??成立， 18分
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