函数的概念和函数的表示
函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程，函数也是一条纽带，它把中学数学各个分支紧紧地连在一起，特别是新教材中的导数的涉入，使函数的内容更加充实、方法更加灵活，自然就成为高考的重点和热点．近几年高考试题中函数部分占有相当大的比重，所考查的内容主要有函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、反函数以及函数图象的变换等．其中多项式函数（含二次函数）、指数函数、对数函数仍是重点考核的内容．高考主要涉及：① 直接通过具体函数考查某些性质；② 以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查；③ 函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题．二轮复习时要注意引导学生用函数的思想和方法去看待问题、解决问题，并揭示其内在联系．
纵观近几年来的高考试题，以基础层次或中档难度的试题考查函数的图象，特别是图象的平移、对称变换，充分体现了图象在解题中的作用（数形结合的思想）．以中等难度、组合形式一题多角度考查函数的性质预计成为新的热点或方向．函数极易与不等式、方程、最值、参数的取值范围的探求及数形结合、解析几何综合在一起编拟综合性较强的高档解答题来测试对函数思想方法的理解与灵活运用，考查等价转化及数形结合、分类讨论等解题策略的理解和掌握程度．
考点一：由函数的概念判断是否构成函数
1、函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y?f(x),x?A. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?A}叫值域 2、一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A?B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f:A?B” 关键：1..A中任意，B中唯一；对应法则f。
2. 判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必要有对应；二条是A
中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式． 3、 设a、b是两个实数，且a {x|a?x?b}?[a,b)，{x|a?x?b}?(a,b]都叫半开半闭区间. 实数集R用区间(??,??)表示，其中“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” .4、函数的表示法 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. 例1. 下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是（ ） ① A={x ② A={x x∈Z}，B={y y∈Z}，对应法则f：x→y= x; 32x>0,x∈R}, B={y y∈R}，对应法则f：x→y=3x; 2③ A=R,B=R, 对应法则f：x→y=x; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ） y O y O y O y O X X X X ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y是x的函数的有（ ） ①x2?y2=2 ②x?1?y?1?1 ③y=x?2?1?x A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 变式3. 已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ） A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B. y=f（x）图像与直线x=a没有交点 C. y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D. y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x相同（ ） A. y=x B. y?x??? C. y?2?x? D.y=t 22变式1.下列函数中哪个与函数y??2x3相同（ ） ?2 x A. y?x?2x B. y??x?2x C. y??x?2x3 D. y?x变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ） x2?9 A. y? 与 y?x?3 x?3 B. y?x2?1 与 y?x?1 0 C. y?x（x≠0） 与 y?1（x≠0） D. y?2x?1，x∈Z 与y?2x?1，x∈Z 考点三：求函数的定义域 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域． （1）当f（x）是整式时，定义域为R； （2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合； （3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合； （4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合； （5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合； 定义域经常和判定函数的奇偶性、求函数单调区间、求参数范围或解函数相关不等式相关联，在函数有意义的条件下转化求解． 例3. 函数y?1?x2?x2?1的定义域是（ ） A. ??1,1? B. ( -1 , 1 ) C. [ -1 , 1 ] D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) 例4. 求函数y?log0.5?4x2?3x?的定义域 变式1. 求下列函数的定义域 ?x?1? 11? ⑵y?⑴y?2x?3?2?xxx?x 变式2. 求下列函数的定义域 ⑴y? 011?ex ⑶y?logx?1?1?3x? 3x2⑵y??lg?3x?1? 1?x 求复合函数的定义域 例5. 已知函数f（2x?1）定义域为??1,3?, 求f（x）的定义域 变式1. 已知函数f（x?1）的定义域为[ 0，3 ]，求f（x）的定义域 2变式2. 已经函数f（x）定义域为[ 0 , 4], 求fx的定义域 ?? 考点四：求函数的值域 在函数y = f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 确定函数的值域的原则： （1）当函数y = f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合； （2）当函数y = f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； （3）当函数y = f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； （4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由实际问题的实际意义确定． 值域的求法比较多，注意选择不同条件的适用性．如：判别式法、三角代换法、反函数法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法、导数法．值域往往与实际问题中的最优值或数列问题相关联． 例6．求下列函数的值域 ①y?3x?1 ， x∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 ) ；②y?x2?4x?6 ，x∈?1,5? ( 配方法 ：形如y?ax2?bx?c ) ③y?2x?x?1 ( 换元法：形如y?ax?b?cx?d ) ； ④y? xcx?d ( 分离常数法：形如y? ) x?1ax?bx2a1x2?b1x?c1⑤y?2 ( 判别式法：形如y? ) 2x?1a2x?b2x?c2 变式1. 求下列函数的值域 ① y?2x?4x?3 ② y?x? 2x?1 2x?12x2?4x?7③ y = ④ y?2 x?3x?2x?3 考点五：求函数的解析式 例7 . 已知f（x）= x?2x，求f（x?1）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法 ） 22变式1. 已知f（x）= 2x?1， 求f（x）的解析式；变式2. 已知f（x+1）= x?2x?3，求f（x）的解析式 2 例8. 若f [ f（x）] = 4x+3，求一次函数f（x）的解析式 （ 待定系数法 ） 变式1. 已知f（x）是二次函数，且f?x?1??f?x?1??2x?4x?4，求f（x）. 2 2变式2、已知f(x?2)?2x?9x?13，求f(x). 例9. 已知f（x）?2 f（?x）= x ，求函数f（x）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）