变式1. 已知2 f（x）? f（?x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式；
变式2. 已知2 f（x）?f ?
例10. 设对任意数x，y均有f?x?y??2f?y??x2?2xy?y2?3x?3y，
求f（x）的解析式. （ 赋值法 / 特殊值法）
变式1. 已知对一切x，y∈R，f?x?y??f?x???2x?y?1?y都成立，且f（0）=1， 求f（x）的解析式.
?1?? = 3x ，求函数f（x）的解析式 ?x?1?xx2?11)??,求f(x).（换元（或代换）法：例：已知f(） 2xxx1?x11?xx2?1111?t,则x?)???1?? 解：设则f(t)?f(xt?1xxx2x2x?1?11??1?(t?1)2?(t?1)?t2?t?1?f(x)?x2?x?1 121()t?1t?1变式1、设f(cosx?1)?cos2x，求f(x).
例：已知f(ax?1)?x2?2，求f(x).（反函数法：） 解：设t?ax?1?0，则x?1?logat 即x?logat?1
代入已知等式中，得：f(t)?(logat?1)2?2?log2at?2logat?3
?f(x)?log2ax?2logax?3
考点六：函数的求值
例11. 已经函数f（x）= 2x?x，求f（2）和f（a）+f (?a)的值
31?x2变式1. 已知f（2x）= ，求f（2）的值
x
例12. 已知函数
f?x??5x?1??????x?0，求f（1）+f（?1）的值 ????3x?2???x?0?????????变式1. 已知函数
f?x???f?x?2??????x??1???2x?2????????1?x?1 ，求f [f（?4）]的值 ??x????????x?1????????
变式2. 已知函数
f??????????????????????n????，求f（5）的值 ?n????1????2f(n?2)?????n???????????
??x?2???????x?(??,1]1例13 . 设函数f?x???????????，求满足f（x）=的x值
2?log81x,????x?(1,??)?????
?x????????x?1变式1. 已知函数f?x???????????，若f（x）=2，求x的值
???x?????x?1???????
函数的概念和函数的表示答案
例1、 ③ 变式1、 ①③ 变式2、B 变式3、D 例2、 D 变式1、 B 变式2、C 例3、 A
2例4、 解：由题意得：log0.54x?3x?0，
??0?4x?3x
则由对数函数的性质得：0?4x?3x?1， 即?2?4x?3x?12?2 求得函数的定义域为：??,0???,1?
?1?4??3???4??2x?3?03?变式1、 解：（1）要使函数有意义，必须?2?x?0，解得??x?2且x?0
2?x?0? 所以，所求定义域为：???3?,0???0,2? ?2??x?1?0?x??1（2）要使函数有意义，必须?，即?
x?x?0x?0?? 所以，所求定义域为：???,?1????1,0? 变式2、解：（1）要使函数有意义，则1?e?0，即e?1?e，
xx0 又e >1，所以 x <0， 即所求定义域为：???,0?
?3x?1?0?1? （2）要使函数有意义，必须?， 求得函数的定义域为：??,1?
?3??1?x?0?1?3x?0?(3 ) 要使函数有意义，必须?x?1?0，求得函数的定义域为：?1,2???2,???
?x?1?1?例5、 解：因为函数f（2x?1）定义域为??1,3?所以?1?x?3，即?3?2x?1?5，所以函数f（2x?1）的定义
域为??3,5?
变式1、 解：因为函数f（x?1）的定义域为[ 0，3 ]，, 所以0?x?3，即1?义域为[ 1，2 ]
2变式2、 解：由题意知0?x?4，则?2?x?2，所以函数f（x）的定义域为[?2，2 ]
x?1?2， 所以函数f（x）的定
例6、 解：①由题意得函数值域为{4，7 ,10，13，16 }
②配方，得y??x?2??2 ∵x∈?1,5?，∴函数的值域为[2，11） ③函数的定义域是xx?1，令t?22??x?1,则t??0,???,x?t2?1,
15?15??1?15. ?原函数的值域为?,??? ?y?2?t2?1??t?2t2?t?2?2?t???. ?t?0,?y?88?8??4? ④y??x?1??1?1?1，?1?0,?1?1?1,?y?1 函数值域为x???,1???1,??? ??x?1x?1x?1x?1x?12 ⑤已知函数可变型为?y?1?x?y?0 当y= 1时，1=0，无解，?y?1
当y?1时，???4?y?1?y?0，即?y?1?y?0， 解得0?y?1，又∵y?1，?0?y?1
综上所述，所求函数的值域为?0,1?
变式1、 解： ① 配方，得y=2?x?1??1， ∴函数的值域为[1，+∞） ②函数的定义域是xx?1，
2???1?3 令t?x?1?t, ?y??t2?1??t?t2?t?1??t???. ?t?0, ?原函数的值域为?1,??? ?y?1?2?4③y?22?x?3??7777?0,?2??2,?y?2 ?函数值域为???,2???2,??? ?2?，?x?3x?3x?3x?3 ④ 已知函数可变型为?y?2?x2??2y?4?x?3y?7?0 当y= 2时，13=0，无解，?y?2 当y?2时，???2y?4??4?y?2??3y?7??0，即?y?2??2y?9??0 解得?299?9??y?2，又∵y?2，???y?2 综上所述，所求函数的值域为??,2? 22?2?22例7、 解：f（x?1）=?x?1??2?x?1??x?4x?3
222变式1. 解：f（x）= 2x?1 变式2. 解：∵f（x+1）= ?x?1??2， ∴f（x）= x?2
2例8.
解：设f（x）= ax+b ?a?0? 则f [ f（x）]= a（ax+b）+b=4x+3， ∴a2?4,ab?b?3，解得??a?2?a??2或? ∴f（x）= 2x+1或f（x）= ?2x?3
?b?1?b??322变式1. 解：设f?x??ax2?bx?c， 则f?x?1??f?x?1??2ax?2bx?2a?2c?2x?4x?4，
得a?1,b??2,a?c?2,即c= 1， ∴f?x??x2?2x?1
例9.
解：∵f（x）?2 f（?x）= x ①
以?x代替式中的x，得 f（?x）?2 f（x）= ?x ②
①+②×2得?3f?x???x， ∴f?x??x 3变式1. 解：∵2 f（x）?f（?x）= x+1 ①
以?x代替式中的x， 得 2f（?x）? f（x）= ?x+1 ② ①×2+②得3f?x??x?3， ∴f?x??变式2、 解：∵2 f（x）?f ? 以
x?3 3?1?? = 3x ① ?x?113代替式中的x， 得2 f（）?f ?x? = ② xxx31 ①×2+②得3f?x??6x?， ∴f?x??2x?
xx例10.
解：∵f?x?y??2f?y??x?2xy?y?3x?3y对任意x，y都成立，
222 所以令y=0，得f?x??2f?0??x?3x 又令x=y=0，得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，
∴f?x??x?3x
2变式1. 解：∵f?x?y??f?x???2x?y?1?y对任意x，y都成立，
所以令x=y，得f（0）=f（x）??2x?x?1?x= f?x???x?1?x， 又∵f（0）=1， ∴f?x??x2?x?1 例11、 解：f?2??2?23?2?18，
f?a??f??a??2?a?a??2???a??a??0
3??3????1?12?2 变式1、 解：令2x?2，解得x = 1，所以f?2??f?2?1??1例12、 解：f（1）+f（?1）= 6+5 = 11
变式1、 解：∵f（?4）?f??4?2??f??2??f??2?2??f?0??2 ∴f [f（?4）] = f（2）= 2?2?4?0
113f?1??1??， 222137 ∴ f?5??1?f?3??1??，
244?x1例13、 解： 方程2=（ x?(??,1] ）的解为x=1，
21 方程log81x=（x??(1,??)? ）的解为x=9，
2变式2、 解 ∵f?1??1,f?3??1? 所以x=1或x=9
变式1、 解：方程?=2（x?1）的解为x?log32；
方程?x?2(x?1)无解， 所以x?log32.
x