高考数列文科总复习
1.【2012高考全国文6】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，Sn?2an?1，,则Sn?
321（A）2n?1 （B）()n?1 （C）()n?1 （D）n?1
232 【答案】B
【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。
【解析】由Sn?2an?1可知，当n?1时得a2?当n?2时，有Sn?2an?1 ① Sn?1?2an ② ①－②可得an?2an?1?2an即an?1?31an，故该数列是从第二项起以为首项，以2211S1? 22?1(n?1)3?为公比的等比数列，故数列通项公式为an??13，
n?22?()(n?2)?2213(1?()n?1)32故当n?2时，Sn?1?2?()n?1
321?23当n?1时，S1?1?()1?1，故选答案B
27.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式an?cosn?，其前n项和为Sn，2则S2012等于
A.1006 B.2012 C.503 D.0 【答案】A．
考点：数列和三角函数的周期性。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。
(4n?1)???(4n?1)?cos?0， 解答： a4n?1?(4n?1)?cos22(4n?2)??(4n?2)?cos???(4n?2)， a4n?2?(4n?2)?cos2(4n?3)?3??(4n?3)?cos?0， a4n?3?(4n?3)?cos22第1页，总16页
a4n?4?(4n?4)?cos(4n?4)??(4n?4)?cos2??4n?4， 2所以a4n?1?a4n?2?a4n?3?a4n?4?2。
2012?2?1006。 48.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是
即S2012?22（A）a1+a3≥2a2 （B）a12?a3 （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，?2a2则a4＞a2 【答案】B
【解析】当a1?0,q?0时，可知a1?0,a3?0,a2?0，所以A选项错误；当q??1时，C选项错误；当q?0时，a3?a2?a3q?a1q?a4?a2，与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确。
【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。
递推数列通项求解方法
类型一：an?1?pan?q（p?1）
思路1（递推法）：an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q?p??p?pan?3?q??q???q? ……?pn?1a1?q(1?p?p2?…?pn?2)??a1???q?n?1q。 ?p??p?1?1?pq，数列?an???p?1思路2（构造法）：设an?1???p?an???，即??p?1??q得??是以a1??为首项、p为公比的等比数列，则an??qq?n?1??a1??p，即p?1?p?1??q?n?1q。 an??a1?p??p?11?p??例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。
an?2an?1?3?2(2an?2?3)?3?2?解：方法1（递推法）：?2?2an?3?3??3???3?……
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3?n?13?n?1?2??2?3。 ?2n?1?3(1?2?22?…?2n?2)??1??1?2?2?1?方法2（构造法）：设an?1???2?an???，即??3，?数列?an?3?是以a1?3?4为首项、2为公比的等比数列，则an?3?4?2n?1?2n?1，即an?2n?1?3。
类型二：an?1?an?f(n)
思路1（递推法）：
an?an?1?f(n?1)?an?2?f(n?2)?f(n?1)?an?3?f(n?3)?f(n?2)?f(n?1)?…?a1??f(n)。
i?1n?1思路2（叠加法）：an?an?1?f(n?1)，依次类推有：an?1?an?2?f(n?2)、
an?2?an?3?f(n?3)、…、a2?a1?f(1)，将各式叠加并整理得an?a1??f(n)，即
i?1n?1an?a1??f(n)。
i?1n?1例2 已知a1?1，an?an?1?n，求an。
解：方法1（递推法）：an?an?1?n?an?2?(n?1)?n?an?3?(n?2)?(n?1)?n? ……?a1?[2?3?…?(n?2)?(n?1)?n]??n?i?1nn(n?1)。 2方法2（叠加法）：an?an?1?n，依次类推有：an?1?an?2?n?1、an?2?an?3?n?2、…、
a2?a1?2，将各式叠加并整理得an?a1??n，an?a1??n??n?i?2i?2i?1nnnn(n?1)。 2类型三：an?1?f(n)?an
思路1（递推法）：
an?f(n?1)?an?1?f(n?1)?f(n?2)?an?2?f(n?1)?f(n?2)?f(n?3)?an?3?…
?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。
思路2（叠乘法）：anaa?f(n?1)，依次类推有：n?1?f(n?2)、n?2?f(n?3)、…、an?1an?2an?3第3页，总16页
aa2?f(1)，将各式叠乘并整理得n?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)，即
a1a1an?f(1)?f(2)?f(3)?…?f(n?2)?f(n?1)?a1。
n?1an?1，求an。 n?1n?1n?1n?2n?1n?2n?3an?1??an?2???an?3?… 解：方法1（递推法）：an?n?1n?1nn?1nn?1例3 已知a1?1，an??2。
n(n?1)方法2（叠乘法）：anaan?12n?2an?2n?3，依次类推有：n?1?、、…、3?、??an?1n?1a24an?2nan?3n?121aa21n?1n?2n?3?，将各式叠乘并整理得n????…??，即
43a13a1n?1nn?1an?n?1n?2n?3212???…???。 n?1nn?143n(n?1)类型四：an?1?pan?qan?1
思路（特征根法）：为了方便，我们先假定a1?m、a2?n。递推式对应的特征方程为
?p?x?px?q，当特征方程有两个相等实根时， an??cn?d?????2?2n?1(c、d为待定系数，
可利用a1?m、a2?n求得)；当特征方程有两个不等实根时x1、x2时，
an?ex1n?1?fx2n?1(e、f为待定系数，可利用a1?m、a2?n求得)；当特征方程的根为
虚根时数列?an?的通项与上同理，此处暂不作讨论。
例4 已知a1?2、a2?3,an?1?6an?1?an,求an。
解：递推式对应的特征方程为x??x?6即x?x?6?0，解得x1?2、x2??3。设an?ex1n?122?fx2n?1，而a1?2、a2?3，即
?9e???e?f?29n?11?5a??2??(?3)n?1。 ，解得，即??n55?2e?3f?3?f?1?5?第4页，总16页
类型五：an?1?pan?rqn （p?q?0）
思路（构造法）：an?pan?1?rqn?1??q?p?an?1?an?，设n?????n?1???，则?，nn?1???1q?rqq???q???p????q?aa1rpr???从而解得?。那么?n是以为首项，为公比的等比数列。 ??nqp?qqp?q??q???r?p?q?例5 已知a1?1，an??an?1?2n?1，求an。
1??????an??2???1?an?1??an1?2解：设n?????n?1???，则?，解得，???n??nn?11???12?222?????23????????3?1111a11?1?是以??为首项，为公比的等比数列，即n?????23622n36?2?n?12n?1，?an?。
3类型六：an?1?pan?f(n) （p?0且p?1）
思路（转化法）：an?pan?1?f(n?)1，递推式两边同时除以p得
nanan?1f(n?1)an???bn，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。 ，我们令pnpn?1pnpn例6 已知a1?2，an?1?4an?2n?1，求an。
anaan?1?1?n?bn，则解：an?4an?1?2n，式子两边同时除以4得n，令????4n4n4n?1?2?n?1??1?bn?bn?1???，依此类推有bn?1?bn?2????2??2?2nnn?1?1?、bn?2?bn?3????2?n?2、…、
n?1??1?b2?b1???，各式叠加得bn?b1????，即
?2?i?2?2?n?1?1n?1??1??1?bn?b1??????????????1???
2i?2?2??2?i?2?2?i?1?2?nnnnn??1?n??an?4?bn?4??1?????4n?2n。
???2???nn第5页，总16页