类型七：an?1?panr （an?0）
思路（转化法）：对递推式两边取对数得logman?1?rlogman?logmp，我们令
bn?logman，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。
例7 已知a1?10，an?1?an2，求an。
解：对递推式an?1?an2左右两边分别取对数得lgan?1?2lgan，令lgan?bn，则
bn?1?2bn，即数列?bn?是以b1?lg10?1为首项，2为公比的等比数列，即bn?2n?1，因
而得an?10bn?102。
n?1类型八：an?1?c?an（c?0） pan?dpa?d1d1p1，那么?n???，令
an?1cancan?1c?an思路（转化法）：对递推式两边取倒数得
bn?1，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。 an例8 已知a1?4，an?1?2?an，求an。
2an?12a?111111即?n???1，令?bn则
an?12anan?12anan解：对递推式左右两边取倒数得
1117bn?1?bn?1。设bn?1????bn???，即???2，?数列?bn?2?是以?2??为
2244172n?2?72n?1首项、为公比的等比数列，则bn?2??n?1，即bn?，?an?n?2。 n?12222?7类型九： an?1?a?an?b（c?0、ad?bc?0） c?an?dax?b2即cx?(d?a)x?b?0。当cx?d????1??1特征方程有两个相等实根x1?x2??时，数列??为等差数列，我们?即?a?da???n??an??2c??思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为x?第6页，总16页
可设
11；当特征方程有???（?为待定系数，可利用a1、a2求得）
a?da?dan?1?an?2c2c?an?x1?a1?x1是以为首项的等比数列，我们可设?a?xa?x?n2?12两个不等实根x1、x2时，数列?an?x1?a1?x1?n?1；当特征方程的?????（?为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）
an?x2?a1?x2?根为虚根时数列?an?通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。
例9 已知a1?14a?3， an?n?1（n?2），求an。 2an?1?2解：当n?2时，递推式对应的特征方程为x?4x?32即x?2x?3?0，解得x1??1、x?2?a?1?an?1a1?x12是以为首项的等比数列，设???1???1???n?1，x2?3。数列?n?an?3a1?x2?2?an?3?1an?13n?1n?1由a1?得a2?2则?3???，???3，即???1??3，从而an?n?1，
23?1an?3?1,n?1??2?an??n。
?3?1,n?2??3n?1?1寒假专题——常见递推数列通项公式的求法
重、难点： 1. 重点：
递推关系的几种形式。 2. 难点：
灵活应用求通项公式的方法解题。
【典型例题】
[例1] an?1?kan?b型。
（1）k?1时，an?1?an?b?{an}是等差数列，an?b?n?(a1?b) （2）k?1时，设an?1?m?k(an?m) ∴ an?1?kan?km?m
比较系数：km?m?b ∴
m?bk?1
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∴
{an?bb}a1?k?1是等比数列，公比为k，首项为k?1
∴
an?bbbb?(a1?)?kn?1an?(a1?)?kn?1?k?1k?1k?1k?1 ∴
[例2] an?1?kan?f(n)型。
（1）k?1时，an?1?an?f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法。
例：已知{an}满足a1?1，解：
an?1?an?1n(n?1)求{an}的通项公式。
∵
an?1?an?111??n(n?1)nn?1
1111?an?1?an?2??n?1n n?2n?1
∴
an?an?1?an?2?an?3?a3?a2?11?n?3n?2……
111?a2?a1?1?23 2
an?a1?1?11an?2?n ∴ n
对这（n?1）个式子求和得：
（2）k?1时，当f(n)?an?b则可设an?1?A(n?1)?B?k(an?An?B) ∴ an?1?kan?(k?1)An?(k?1)B?A
?(k?1)A?abaaB???A?2(k?1)B?A?bk?1(k?1)k?1?∴ 解得：，
∴ {an?An?B}是以a1?A?B为首项，k为公比的等比数列
n?1a?An?B?(a?A?B)?kn1∴
∴ an?(a1?A?B)?kn?1?An?B 将A、B代入即可
n（3）f(n)?q（q?0，1）
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an?1kan1??n?n?1n?1qqq 等式两边同时除以q得qCn?ank1C?C?qn 则n?1qnq ∴ {Cn}可归为an?1?kan?b型
令
[例3] an?1?f(n)?an型。
（1）若f(n)是常数时，可归为等比数列。
（2）若f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：
a1?12n?1an?an?13，2n?1（n?2）求数列{an}的通项。
anan?1an?2a3a22n?12n?32n?5533??????????a2a12n?12n?12n?3752n?1 解：an?1an?2an?3an?a1?31?2n?12n?1
∴
[例4]
an?k?m?an?1m?an?1型。
11111k?k(?)?k??an?1m ∴ anan?1m 考虑函数倒数关系有anCn?1an 则{Cn}可归为an?1?kan?b型。
令
练习：
1. 已知{an}满足a1?3，an?1?2an?1求通项公式。 解：
设an?1?m?2(an?m) an?1?2an?m ∴ m?1 ∴ {an?1?1}是以4为首项，2为公比为等比数列
n?1n?1a?2?1 a?1?4?2nn∴ ∴
*2. 已知{an}的首项a1?1，an?1?an?2n（n?N）求通项公式。
解：
an?an?1?2(n?1)
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an?1?an?2?2(n?2) an?2?an?3?2(n?3)…… a3?a2?2?2
?a2?a1?2?1
an?a1?2[1?2???(n?1)]?n2?n
2a?n?n?1 n∴
3. 已知{an}中，解：
an?1?nann?2且a1?2求数列通项公式。
anan?1an?2a3a2n?1n?2n?3n?4212???????????an?1an?2an?3a2a1n?1nn?1n?243n(n?1) an24?an?n(n?1) ∴ n(n?1) ∴ a14. 数列{an}中，解：
an?12n?1?an?n?12?an，a1?2，求{an}的通项。
2n?1?an1111?n?1??n?1an?12an ∴ an?1an2
bn?111bn?1?bn?n?1bn?bn?1?nan ∴ 2 ∴ 2
12n 12n?1 12n?2……
设
∴
bn?bn?1?bn?1?bn?2?bn?2?bn?3?b3?b2?123
?b2?b1?122
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