证法二：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，∠AFO=∠CEO， ∵EF垂直平分AC， ∴OA=OC， ∴△AOF≌△COE， ∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形
∴OC=AC=4，OE=EF=3
∴CE= = =5， ∵∠COE=∠ABC=90，∠OCE=∠BCA， ∴△COE∽△CBA，
∴=， ∴=，
∴BC=．
【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．（13分）阅读下列材料，完成任务：
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自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形． 任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的
相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似
比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）． 请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择 A或B 题．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分
横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= 或
（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横
向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= b或 b （用含m，n，b的式子表示）．
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【考点】SO：相似形综合题．
【专题】15 ：综合题；34 ：方程思想．
【分析】（1）先得出AH=AD，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AB，即可得出结论；
（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论； ②同①的方法即可得出结论；
B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况，先根据相似矩形得出AF，AG，最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论； ②同①的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD， ∴相似比为：
=；
=
故答案为：；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为：=，
故答案为：；
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（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD， ∴AF：AB=AB：AD，
即a：b=b：a，
∴a= b； 故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和a，
则b：a=a：b，
∴a= b； 故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时， ∵矩形FMND∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AD：AB，
即FD：b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a=a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
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∵矩形DFMN∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AB：AD
即FD：b=b：a
解得FD=，
∴AF=a﹣=，
∴AG==，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即：b=b：a，
得：a=b；
故答案为： 或；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等， ∴DN=b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时， ∵矩形FMND∽矩形ABCD， ∴FD：DN=AD：AB， 即FD：b=a：b，
解得FD=a，
∴AF=a﹣a，
∴AG===a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD， ∴AG：AB=AB：AD
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