一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面
?1:y?z?0与平面?2:x?y?0的夹角为 .
22(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2?3)的方向的方向导数z?x?y2. 函数在点
为 .
222f(x,y)D:x?y?a3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当a?0时，
1a?0?a2lim??f(x,y)dxdy?D .
222x?y?z?4. 区域由圆锥面及平面z?1围成，则将三重积分
???f(?x2?y2)dV在柱
面坐标系下化为三次积分为 .
23P,Q,R是定义在x?t,y?t,z?t?5. 设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，
?上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：
??Pdx?Qdy?Rdz?将
函
数
______________________________________.
6.
f(x)?x?1(0?x??)展开成余弦级数为
__________________________________
.
二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若
??(x,y)?Kf?(x,y)?z?f(x,y)有连续的二阶偏导数，且fxy(常数)，则y（ ）
Ky； (C) Ky??(x)； (D) Kx??(y).
K2(A) 2； (B)
8. 设
f(x)是连续的奇函数，g(x)是连续的偶函数，区域
D?(x,y)0?x?1,?x?y?x??，则下列结论正确的是（ ）
??f(x)g(y)dxdy?0D(A)
??f(y)g(x)dxdy?0D； (B) ；
(C)
??[f(x)?g(y)]dxdy?0D； (D)
??[f(y)?g(x)]dxdy?0D.
9. 已知空间三角形三顶点
A(?1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则?ABC的面积为（ ）
7293(A) 2； (B) 3； (C) 9； (D) 7.
2z??dxdy?10. 曲面积分在数值上等于( )
??22??zv?zi(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量； ????22(C) 向量场F?zk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场F?zk沿Σ边界所做的功.
若级数?cn(x?2)n在x??4处是收敛的,则此级数在x?1处n?1?11．( )
(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.
(?1)n?1?n2p12.级数n?1的敛散性为 ( )
?p?(A) 当
11p?2时，绝对收敛； （B）当2时，条件收敛；
110?p?2时，发散. 2时，绝对收敛； （D）当
0?p?(C) 当
三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
?(x?y?z)z?z(x,y)，求全微分dz. x?y?z?e13.（本题满分6分）设确定
题满分8分）求曲线
???2x?3y?5z?4?0?x2?y2?z2?3x?0 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.
15.（本题满分8分）求幂级数n?0
?(2n?1)xn的和函数.
（本题满分6分）计算所截下的有限部分.
I???(x?y?z)dS?22y?z?5x?y?25?，其中为曲面被柱面
17.（本题满分8分）计算积分
I??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dyL，其中L为曲线
355(x?)2?(y?)2?222上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.
18.（本题满分8分）计算
I???yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy?，其中?是由曲面
4?y?x2?z2与平面y?0围成的有界闭区域?的表面外侧.
x2y2z2?2?2?12abc19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个
坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标. 20. (本题满分6分)设
baf(x),g(x)均在?a,b?上连续，试证明柯西-施瓦茨不等式：
bbaa[?f(x)g(x)dx]2?[?f2(x)dx][?g2(x)dx].
答 案
一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上.
?1. 平面
?1:y?z?0与平面?2:x?y?0的夹角为
3.
22(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2?3)的方向的方向导数为z?x?y2. 函数在点
1?23.
222f(x,y)D:x?y?a3. 设是有界闭区域上的连续函数，则当a?0时，
1a?0?a2lim??f(x,y)dxdy?Df(0,0) .
222x?y?z?4. 区域由圆锥面及平面z?1围成，则将三重积分
2?011r????f(x2?y2)dV在柱
面坐标系下化为三次积分为
?d??dr?f(r)rdz0.
23P,Q,R是定义在x?t,y?t,z?t5. 设?为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，
?上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：
??Pdx?Qdy?Rdz???(P1?4x?9y22?2xQ1?4x?9y22?3yR1?4x?9y22)ds.
6. 将函数
f(x)?x?1(0?x??)展开成余弦级数为
x?1??2?1?4?(cosx?11cos3x?cos5x??)(0?x??)3252.
二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若
??(x,y)?Kf?(x,y)?z?f(x,y)有连续的二阶偏导数，且fxy(常数)，则y（ D ）
Ky； (C) Ky??(x)； (D) Kx??(y).
K2(A) 2； (B)
8. 设
f(x)是连续的奇函数，g(x)是连续的偶函数，区域
D?(x,y)0?x?1,?x?y?x??，则下列结论正确的是（ A ）.
??f(x)g(y)dxdy?0D(A)
??f(y)g(x)dxdy?0D； (B) ；
(C)
??[f(x)?g(y)]dxdy?0D； (D)
??[f(y)?g(x)]dxdy?0D..
9. 已知空间三角形三顶点
A(?1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则?ABC的面积为（ A）
7293(A) 2； (B) 3； (C) 9； (D) 7
10. 曲面积分
??z?2dxdy在数值上等于( C ).
??22??zv?zi(A) 流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为的曲面片Σ的质量； ????22(C) 向量场F?zk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场F?zk沿Σ边界所做的功.
若级数?cn(x?2)n在x??4处是收敛的,则此级数在x?1处n?1?11.( D )
(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.
(?1)n?1?n2p12.级数n?1的敛散性为 ( A )
?p?(A) 当
11p?2时，绝对收敛； （B）当2时，条件收敛；
110?p?2时，发散. 2时，绝对收敛； （D）当
0?p?(C) 当
三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
?(x?y?z)z?z(x,y)，求全微分dz. x?y?z?e13. （本题满分6分）设确定
?(x?y?z)dx?dy?dz?e(?1)(dx?dy?dz)
解：两边同取微分
整理得
dz??dx?dy.
14. （本题满分8分）求曲线 程.
???2x?3y?5z?4?0x2?y2?z2?3x?0 在点（1,1,1）处的切线与法平面方
dydz9??dy2x?2y?2z?3???dx(1,1,1)4dxdx??dzdydz7?2?3?5?0???(1,1,1)dxdxdx4，++- ??x解：两边同时关于求导，解得
91T?(1,,?)1616 所以切向量为
x?1y?1z?1??169?1； 切线方程为：
法平面方程为：
16(x?1)?9(y?1)?(z?1)?0，即16x?9y?z?24?0.
15.（本题满分8分）求幂级数n?0?(2n?1)xn??的和函数.
n解：求得此幂级数的收敛域为
(?1,1)，n?0??(2n?1)x??2nx??xnnn?0n?0??，
??2nx?2x?nxnn?0n?1??n?1,设
A(x)??nxn?1n?1?xn?1，则
??0xA(x)dx??n?xn?10?xn?1dx???nxn?10dx??xn?n?1x1?x，(?1?x?1)；
??12x?x??n,2nx?,?A(x)????221?x(1?x)(1?x)?? 即n?0
??(2n?1)xn?n?0?2x11?x??(1?x)21?x(1?x)2，(?1?x?1).