16.（本题满分6分）计算
I???(x?y?z)dS?y?z?5被柱面
，其中?为曲面
x2?y2?25所截下的有限部分.
I???(x?y?z)dS???(x?5)dS??解：
???5dS?52?x2?y2?25??dxdy
?52?25??1252?
17.（本题满分8分）计算积分
I??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dyL，其中L为曲线
355(x?)2?(y?)2?222上从点(1,1)到(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.
?解：
?Q?P??4x?x?y
AB?I??(2x2?4xy)dx?(2x2?y2)dy
??(2x2?4x)dx??(8?y2)dy1124
?413
18.（本题满分8分）计算
I???yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy?，?是由曲面
4?y?x2?z2与平面y?0围成的有界闭区域?的表面外侧.
I???yzdydz?y(x2?z2)dzdx?xydxdy?解：
2????(x2?z2)dV?2?d?2rdr4?rr2dy?32??0?0?03 ?x2y2z2?2?2?12bc19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面a的切平面，使切平面与三个
坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.
222x,y,z)202020(x,y,z)bc解：设切点坐标为000，则切向量为a，
(x02切平面方程为a(x?x0)?y0b2(y?y0)?z0c2(z?z0)?0x0x2，即a?y0yb2?z0zc2?1，
a2b2c21V?xyz?6x0y0z0， 6则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为
令
L(x0,y0,z0,?)?lnx0?lny0?lnz0??(x02a2?y02b2?z02c2?1)
?12?x0?x?a2?0,?0?1?2?y0?0,??y0b2?12?z??20?0,c?z0?x2y2z2abc?0?0?0?1x0?,y?,z?00222?abc?333， 解方程组得
(故切点坐标为
a3,b3,c3.
)20. (本题满分6分)设
baf(x),g(x)均在?a,b?上连续，试证明柯西不等式：
bbaa[?f(x)g(x)dx]2?[?f2(x)dx][?g2(x)dx]b2baa.
证：
[?f(x)dx][?g2(x)dx]???f2(y)g2(x)dxdy???f2(x)g2(y)dxdyDD
bb1?[?f2(x)dx][?g2(x)dx]?(??f2(x)g2(y)dxdy???f2(x)g2(y)dxdy)aa2DD
?112222(f(x)g(y)?f(y)g(x))dxdy?(2f(x)g(x)f(y)g(y))dxdy??2??2DDD
一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1. 设三向量
???(f(x)g(x)f(y)g(y))dxdy?bf(x)g(x)dxbf(y)g(y)dy?[bf(x)g(x)dx]2???aaaa,b,c满足关系式a?b?a?c，则（ ）.
（A）必有a?0; （B）必有b?c?0;
（C）当a?0时，必有b?c; （D）必有
a??(b?c)(?为常数).
x?3y?4z???73与平面4x?2y?2z?3的关系是（ ）. 2. 直线?2（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；
（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.
?5xy,?22f(x,y)??x?y?0,?3. 二元函数
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点（0，0）处（ ）
(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在
(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在
(x?ay)dx?ydy2(x?y)4. 已知为某二元函数的全微分，则a?（ ）.
（A）?1; （B）0; （C）1; （D）2.
2f(u)D:0?y?1?x,(?1?x?1)，5. 设是连续函数，平面区域则
??f(xD2?y2)dxdy?（ ）.
11?x2?0dx?0（A）
f(x?y)dy22; （B）
11?y2?0dy?0f(x2?y2)dx;
（C）
?12?0d??0f(r)rdr; （D）
??12?0d??0f(r)dr.
an(?1)(1?cos)?n6. 设a为常数，则级数n?1（ ）.
（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与a的值有关.
二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.
?ux2y2z2?u(x,y,z)?1???P(1,2,3)P61218，向量n?{1,1,1}，点01. 设函数，则?n0_____________.
22f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a?2. 若函数
____________.
3. L为圆x?y?1的一周，则
2222?L(x?y)ds?_____________.
4. 设
an?1?2n??anlim，级数n?1?axn?2n?1的收敛半径为 _____________.
5. 设
f(x)??e?ydy1x22，则
?0xf(x)dx?1_____________.
?2,?1?x?0f(x)??3f(x)是以2为周期的周期函数，它在区间(?1,1]上的定义为?x,0?x?1，6. 设
则
f(x)的以2为周期的傅里叶级数在x?1处收敛于_____________.
三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.
1.（本小题6分）设
f(u)是可微函数，
z?f(?z?zyx?2y)?y. x，求?x，其中D?{(x,y)|x?y?1,x?0}.
222. （本小题6分）计算二重积分
1?xydxdy22??1?x?yD3z?z(x,y)x3. （本小题6分） 设曲面是由方程y?xz?1所确定，求该曲面在点
M0(1,2,?1)处的切平面方程及全微分dz|(1,2).
4. （本小题6分） 计算三重积分
????x2?y2dxdydz2y?1?x?，其中是由柱面及
y?0，z?0，x?y?z?4所围成的空间区域.
5. （本小题6分）求向取下侧.
??(2x?z)dydz?zdxdy??22z?x?y(0?z?1)，方?，其中为曲面
n2?1nx?n6. （本小题7分） 求幂级数n?1的收敛域及和函数.
解题过程是：
I???(x2?y2)dS7. （本小题7分）计算解题过程是：
四．证明题（8分）. 设函数
?x2?y2?z?1?，为立体的边界。
f(u)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y?0)内的有向分段光滑曲
线，其起点为
(a,b)，终点为(c,d)，记
I??1x[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dyLyy，
（1）证明曲线积分I与路径L无关;
（2）当ab?cd时，求I的值.
一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1. 设三向量
a,b,c满足关系式a?b?a?c，则（ D ）.
（A）必有a?0; （B）必有b?c?0; （C）当a?0时，必有b?c; （D）必有
a??(b?c)(?为常数).
x?3y?4z???73与平面4x?2y?2z?3的关系是（ A ）. 2. 直线?2（A）平行，但直线不在平面上; （B）直线在平面上；
（C）垂直相交; （D）相交但不垂直.
?5xy,?f(x,y)??x2?y2?0,?3. 二元函数
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在点（0，0）处（A）
(A) 不连续，偏导数存在 (B) )连续，偏导数不存在
(C) 连续，偏导数存在 (D) )不连续，偏导数不存在
(x?ay)dx?ydy2(x?y)4. 已知为某二元函数的全微分，则a?（ D ）.
（A）?1; （B）0; （C）1; （D）2.
22f(x?y)dxdy???D2f(u)D:0?y?1?x,(?1?x?1)，5. 设是连续函数，平面区域则
（ C ）.
（A）、
??010dx?01?x20f(x?y)dy22; （B）
?dy?011?y201f(x2?y2)dx;
（C）
?d??f(r2)rdr1; （D）
??0d??f(r2)dr0.
6. 设a为常数，则级数n?1?(?1)(1?cosn)n?a（ B ）.
（A）发散 ; （B）绝对收敛; （C）条件收敛; （D）收敛性与a的值有关. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.
x2y2z2u(x,y,z)?1???,2,3)， 0(161218，向量n?{1,1,1}，点P1. 设函数