?u3?P则?n0______3______.
22f(x,y)?2x?ax?xy?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a?____?52. 若函数
_____. 3.
22(x?y)ds??L为圆x?y?1一周，则L_____0_____.
224. 设
an?1?2n??anlim，级数n?1?axn?2n?12的收敛半径为 _____2_____.
5. 设
f(x)??e1x2?y21?1?(1?e)xf(x)dx?dy?，则0___4___.
1?2,?1?x?0f(x)??3f(x)(?1,1]?x,0?x?1，6. 设是以2为周期的周期函数，它在区间上的定义为
3f(x)的以2为周期的傅里叶级数在x?1处收敛于_____2_____. 则
三．解答下列各题（本题共7小题，1-5每小题6分，6-7每小题7分，满分44分）.
1.设
f(u)是可微函数，
z?f(?z?zyx?2y)?y. x，求?x解题过程是：
u?令
yy?z??2f?(u)x，则?xx， ………………………………..2分
?z1?f?(u)?y2xyx， ………………………………..2分
?z?z?2y?0?y于是?x. ………………………………..2分
1?xydxdy22??1?x?yD22D?{(x,y)|x?y?1,x?0}. ，其中
2. 计算二重积分解题过程是：
xy22D关于x轴对称，被积函数1?x?y关于y是奇函数，故 xydxdy?022??1?x?yD； …………………………………..2分
11?xy11?2dxdy?dxdy?d?rdr?ln2?2222??????01?r2?1?x?y1?x?y22D于是 D…..4分
?
3M(1,2,?1)处的切平面z?z(x,y)x3. 设曲面是由方程y?xz?1所确定，求该曲面在点0方程及全微分
dz|(1,2).
解题过程是：
令F(x,y,z)?xy?xz?1，则
3Fx??3x2y?z,Fy??x3,Fz??x，
Fx?(M0)?5,Fy?(M0)?1,Fz?(M0)?1. …………………………………..2分
切平面为
5x?y?z?6?0. …………………………………..1分
F??zFx?3x2?z?z????,??y??x2,?xFz?x?yFz?
?z?z??5,??1,?xM0?yM0 …………………………………..2分
dz于是
M0??5dx?dy. …………………………………..1分
4. 计算三重积分
????x2?y2dxdydz2y?0，z?0，y?1?x?，其中是由柱面及
x?y?z?4所围成的空间区域.
解题过程是：
????x2?y2dxdydz??d??r2dr?00?14?r(cos??sin?)0dz…………………………………..3分
?41??[?(cos??sin?)]d?034??d??[4r?r(cos??sin?)dr00?123?41??32. …………………………………..3分
5. 求
??(2x?z)dydz?zdxdy?22z?x?y(0?z?1)，方向取下侧. ，其中?为曲面
解题过程是：
22?z?1(x?y?1)，法线方向指向z轴正向 …………………… …..1分 1取为
由Guass公式
??(2x?z)dydz?zdxdy????????????1?1
????(2?0?1)dxdydz?????12?11 ……………………..2分
?3?d??rdr?2dz???dxdy00rD ……………………..1分
?
?31?????22. ……………………..2分
n2?1nx?n6. 求幂级数n?1的收敛域并求其和函数.
ann2?1R?lim?1an?n??a(?1,1)； n?1n，所以因为，故收敛区间为
n2?1lim?0(?1,1).…………..2分 x??1时，极限n??n，级数均是发散的；于是收敛域为
n2?1n?n?1ns(x)??x??nx??xnn?1n?1n?1n
??x(?1n?nxdx)?(x)?dx???00nn?1n?1 ……………………. …………...3分
n?1xx??x1x?x()???dx01?x1?x?x?ln(1?x),(1?x)2x?(?1,1). ……………………. …………...2分
7. （本小题7分）例1 计算
I???(x2?y2)ds?，?为立体x2?y2?z?1zx的边界。 z?x2?y20?z?1??????121解 设，为锥面，
?2为z?1上x2?y2?1部分， ?1,?2在xoy面投影为x2?y2?1
Oyx?z2?z2dS1?1??dxdy?x?y=
2dxdy， dS2?dxdy
(x2?y2)ds22???∴I?=
?1(x2?y2)ds122??+
?2=
??D(x2?y2)2dxdy???(x2?y2)dxdyD
1(2?1)??(x?y)dxdy?(1?2)?d??r3dr?D10?2(1?2)
四．证明题（8分）. 设函数
f(x,y)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y?0)内的有向分段光滑
曲线，其起点为
(c,d)，(a,b)，
终点为记
I??1x[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dyLyy，
（1）证明曲线积分I与路径L无关;（2）当ab?cd时，求I的值.
1xP(x,y)?[1?y2f(xy)],Q(x,y)?2[y2f(xy)?1]yy（1）记，
?P[2yf(xy)?y2f?(xy)?x]y?[1?y2f(xy)]1??f(xy)??xyf?(xy);22?yyy?Q[y2f(xy)?1]?x?y3f?(xy)]1???f(xy)?xyf(xy)?;22?xyy?
?P?Q??y?x成立，积分I与路径L无关. ……………………………………..3分
(a,b)起至点(c,b)，再至终点(c,d)，则
（2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点
I??(c,b)(a,b)P(x,y)dx??(c,d)(c,b)Q(x,y)dyc1dccbcdcc??[?bf(xb)]dx??[cf(cy)?2]dy?c?a?f(t)dt?f(t)dt????abcabbcybdb cdcaca????f(t)dt??abdb. db