高三自主诊断试题
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知
a?1?bi，其中a,b是实数，i是虚数单位，则|a?bi|? 1?iA．3 B．2 C．5 D．5 2. 已知集合M?{x|y?lg(2x?x)}，N?{x|x?y?1}，则MA．[?1,2) B．(0,1) C．(0,1] D．? 3. 高三（3）班共有学生56人，座号分别为1,2,3,222N?
,56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容
量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是 A．30 B．31 C．32 D．33
?2x, x?0,4. 已知函数f(x)??，则使f(x)?2的x的集合是
|logx|,x?0,?2111A．{,4} B．{1,4} C．{1,} D．{1,,4} 4445. 已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD(n,m)，输入
开始 n i?2 其结果为n除以m的余数，例如MOD(8,3)?2. 右面是一个算法 的程序框图，当输入的值为25时， 则输出的结果为
A．4 B．5 C．6 D．7
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MOD(n,i)?0? 否 是 输出i i?i?1 结束
?x?2?6. 设x,y满足约束条件?3x?y?1，则下列不等式恒成立的是
?y?x?1?A．x?3 B．y?4 C．x?2y?8?0 D．2x?y?1?0 7. “a??2”是“函数f(x)?x?a在[?1,??)上单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有
A．18种 B．24种 C．36种 D．72种
)?f(?x)，当x?(0,]时，f(x)?log2(x?1)，则f(x)在区9. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?1间(1,)内是
A．减函数且f(x)?0 B．减函数且f(x)?0 C．增函数且f(x)?0 D．增函数且f(x)?0
1232x2y210. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，过F作斜率为?1的直线交双曲线的渐近线于点
aba2?b2P，点P在第一象限，O为坐标原点，若?OFP的面积为，则该双曲线的离心率为
8571015A． B． C． D．
3333第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知不共线的平面向量a，b满足a?(?2,2)，(a?b)?(a?b)，那么|b|? ；
212. 某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,10)，已知
P(100?X?110)?0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 人；
13. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ；
4 4 正（主）视图
4 y 6 侧（左）视图
2 ?6 ?1 3 O2? ?1 3x
俯视图
第13题图
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第14题图
n(?x14. 若函数f(x)?Asi?为 ；
?6)?A(??0,的0)象如图所示,则图中的阴影部分的面积图
15. 若不等式2y2?x2?c(x2?xy)对任意满足x?y?0的实数x,y恒成立，则实数c的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）
已知向量a?(ksinxxx,cos2),b?(cos,?k),实数k为大于零的常数，函数f(x)?a?b,x?R，333且函数f(x)的最大值为（Ⅰ）求k的值；
2?1. 2（Ⅱ）在?ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，若
?2?A??，f(A)?0,且a?210,求
AB?AC的最小值.
17．（本小题满分12分）
为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：
乘坐里程x（单位：km） 票价（单位：元） 0?x?6 3 6?x?12 4 12?x?22 5 现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为
1111，，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为， . 4323（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量?，求?的分布列与数学期望．
18．（本小题满分12分）
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E、F分别是AD、AB?2a，AA如图，在正四棱台ABCD?A1BC11D1中，A1B1?a，1?2a，AB的中点.
（Ⅰ）求证：平面EFB1D1∥平面BDC1； （Ⅱ）求二面角D?BC1?C的余弦值的大小.
注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.
19．（本小题满分12分）
设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正整数的等比数列，且a1?b1?1，a13b2?50，
D1 C1 B1 A1
D E A F
B
C
a8?b2?a3?a4?5，n?N*．
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）若数列{dn}满足dndn?1?()
20．（本小题满分13分）
已知抛物线C1:y?2px(p?0)的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆
212?8?log2bn?1（n?N），且d1?16，试求{dn}的通项公式及其前n项和Sn．
*C:x2?y2?9上．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
x2y2（Ⅱ）已知椭圆C2:2?2?1 (m?n?0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，若椭圆C2上存在关于
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直线l:y?
11x?对称的两个不同的点，求椭圆C2的离心率e的取值范围． 4321．（本小题满分14分）
a1?ln（a为实数）． xx11（Ⅰ）当a?1时，求函数f(x)的图象在点(,f())处的切线方程；
22已知函数f(x)?1?（Ⅱ）设函数h(a)?3?a?2a2（其中?为常数），若函数f(x)在区间(0,2)上不存在极值，且存在a满足
1h(a)???，求?的取值范围；
8（Ⅲ）已知n?N，求证：ln(n?1)?1?*1111????2345?1． n高三数学（理科）试题 第5页（共12页）