高三自主诊断试题
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． D C B A B C A C B C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 22 12. 8 13.32 14．
2?3 15．22?4 2三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）
xxx,cos2)?(cos,?k) 3332x1?cosxxx12x3?k(sin2x?cos2x)?k??2分 ?ksincos?kcos2?ksin?k33323223322k22x22xk2k2x?k?(sin?cos)??sin(?)? ????????5分
2232322342(2?1)k2?1因为x?R，所以f(x)的最大值为，则k?1 ???????6分 ?22解：（Ⅰ）由已知f(x)?a?b?(ksin（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?22x?122A?1sin(?)?，所以f(A)?sin(?)??0 234223422A?2 ?)?342?2A?5?????因为?A??，所以 12341222A??3???，解得A?则 ???????????????????8分 3444化简得sin(2b2?c2?a2b2?c2?4022因为cosA??，所以b?c?2bc?40 ??22bc2bc则b?c?2bc?40?2bc?2bc，所以bc?2240?20(2?2) ?????10分
2?2则AB?AC?ABACcos3?2??bc?20(1?2) 42所以AB?AC的最小值为20(1?2) ???????????????????12分 17．（本小题满分12分）
高三数学（理科）试题 第6页（共12页）
解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1?11， 431111111?????? ?????2分 432343312?1?? ???????4分 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P?1?P133（Ⅱ）由题意可知，??6,7,8,9,10 则P(??6)?P(?P(?P(?P(?111?? 431211111?7)?????
432341111111?8)???????
434323311111?9)?????
23434111?10)??? ????????????????????????10分
4312所以?的分布列为
? P 则E(?)?6?6 7 8 9 10 1 121 41 31 41 1211111?7??8??9??10??8 ??????????????12分 124341218．（本小题满分12分）
AC，分别交B1D1,EF,BD于M,N,P，连接MN,C1P 证明：（Ⅰ）连接AC11，
由题意，BD∥B1D1
因为BD?平面EFB1D1，B1D1?平面EFB1D1，所以BD∥平面EFB1D1 ????2分
又因为A1B1?a,AB?2a，所以MC1?12AC?a 1122又因为E、F分别是AD、AB的中点，
12a 所以NP?AC?42所以MC1?NP
D1 z M B1 C1 A1 NP 又因为AC∥AC11，所以MC1∥
E N D C
高三数学（理科）试题 第7页（共12页）P A x F B y
所以四边形MC1PN为平行四边形 所以PC1∥MN
因为PC1?平面EFB1D1，MN?平面EFB1D1，所以PC1∥平面EFB1D1
因为PC1IBD?P，所以平面EFB1D1∥平面BDC1 ?????????????5分 （Ⅱ）连接A1N，因为A1M?MC1?NP，又A1M∥NP 所以四边形A1NPM为平行四边形，所以PM∥A1N
由题意MP?平面ABCD，?A1N?平面ABCD，?A1N?AN
因为A1B1?a，AB?2a，AA1N?1?2a，所以A因为ABCD为正方形，所以AC?BD
AA12?AN2?6a?MP 2所以，以PA,PB,PM分别为x,y,z轴建立如图所示的坐标系
则B(0,2a,0)，D(0,?2a,0)，C(?2a,0,0)，C1(?26a,0,a) 22uuuruuuruuur26所以BD?(0,?22a,0)，BC1?(?a,?2a,a)，BC?(?2a,?2a,0)
22 ?????????????????????7分
uuruuur?uur?n1?BC1?0设n1?(x1,y1,z1)是平面BDC1的法向量，则?u uruuur??n1?BD?0?26ax1?2ay1?az1?0?? ??2，?y1?0， 2??22ay1?0?uur令z1?1，则x1?3，所以n1?(3,0,1) ?????????????????9分
uuruuur?uur?n2?BC1?0设n2?(x2,y2,z2)是平面BCC1的法向量，则?uu ruuur??n2?BC?0?26ax2?2ay2?az2?0?? ??22??2ax2?2ay2?0?uur33) ????????????11分 令y2?1，则x2??1，z2?所以n2?(?1,1,33高三数学（理科）试题 第8页（共12页）
uuruur?3?0?3uruurn1?n23??7 所以cos?n1,n2??uuruur?721n1n22?3所以二面角D?BC1?C的余弦值的大小为19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，?bn?的公比为q，则依题意有q?0 且?7???????????????12分 7?(1?12d)q?50 (1?7d)?q?(1?2d)?(1?3d)?5?11?d???d?2?(1?12d)q?50?12即? 解得：?，或?， 25q?2??2d?q?6?q??6??d?2由于{bn}是各项都为正整数的等比数列，所以???????????????2分
q?2?从而an?1?(n?1)d?2n?1，bn?qn?1?2n?1． ??????????????4分
（Ⅱ）
bn?2n?1 ?log2bn?1?n
11?dndn?1?()?8?n ， dn?1dn?2?()?7?n
22两式相除：
dn?21?， dn212?8?1由d1?16，d1d2?()?128可得：d2?8
1为公比的等比数列；d2,d4,d6,2是以d2?8为首项，以
?d1,d3,d5,是以d1?16为首项，以
1为公2比的等比数列 ???????????????????????6分
?当n为偶数时，
?11n2dn?8?()2?16()n ???????????????????????7分
22Sn?(d1?d3?n?dn?1)?(d2?d4?n?dn)
1116?[1?()2]8?[1?()2]n1n1222???32[1?()2]?16[1?()2]?48?48()n ????9分
112221?1?22?当n为奇数时，
?1?11n22dn?16?()?162()n??????????????????????10分
22高三数学（理科）试题 第9页（共12页）
Sn?(d1?d3??dn)?(d2?d4??dn?1)
116?[1?()2?11?2n?121]8?[1?()2?11?2n?12]?1?11n21n22?32[1?()]?16[1?()]?48?322()n
222??2n2n?16(),n为偶数 ?48?48(),n为偶数 ??22 ，Sn?? ???????12分 ?dn???162(2)n,为奇数 ?48?322(2)n,n为奇数
n??22??
20．（本小题满分13分）
p?x??02?3?22解：（Ⅰ）设点G的坐标为(x0,y0)，由题意可知?x0?y0?9 ?????????2分
?y2?2px0?0?解得：x0?1,y0??22,p?4,
所以抛物线C1的方程为：y2?8x ?????????????????????4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F(2,0) 椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合
?椭圆C2半焦距c?2, m2?n2?c2?4??①????????????????5分
设M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆C2上关于直线l:y?11x?对称的两点， MN:y??4x?? 43?x2y2?1 ??由?m2n2?(16m2?n2)x2?8m2?x?m2?2?m2n2?0??（*） ?y??4x???则??64m24?2?4(16m2?n2)(m2?2?m2n2)?0，
22得：16m?n???0??②????????????????????????7分
8m2?对于（*），由韦达定理得：x1?x2?
16m2?n22?n2?y1?y2??4(x1?x2)?2??
16m2?n2高三数学（理科）试题 第10页（共12页）