华 北 水 利 水 电 大 学
题目《欧拉公式及其应用》
课 程 名 称： 高等数学（2）
专 业 班 级： 电子信息工程 2012154 成 员 组 成：
联 系 方 式：
2013年5月31 日
i?摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式e?cos??isin?，
举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。
关键词：欧拉公式，证明，应用
英文题目\
Abstract: The different methods of several in the complex domain that Euler's formula, illustrates several kinds of application of Euler's formula in mathematics, to solve the problem through the summary of many ways to look at problems of the mind, through the solution of several kinds of problems that the reader more understood the importance of Euler in learning many aspects of the theory and the mathematical formula in the.
Key words: Euler formula Prove application
1 引言
欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有复变函数中的欧拉幅角公式。1748年，欧拉在其著作中发表欧拉幅角公式，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用。在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，欧拉幅角公式将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁。
2 研究问题及成果
2.1 在复分析领域的欧拉公式
对于任意实数θ，存在：e特别是当???时，有
iθ
=cos θ+i sin θ
i?
ei???1，即e?1?0，这个等式将数学中的最富有特
色的五个数0、1、i、e、?联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，?是圆周率在公元前就被定义为“周长与直径的比”。
2.2 欧拉公式的证明方法
2.2.1幂级数展开式的证明法
引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式①三角函数的“麦克劳林级数”[1] ：
ei??cos??isin?，
sin(z)?z?z?z3!355!4???(?1)n?1zz2n2n?1(zn?1)!n??,
cos(z)?1?zz22!2?z4!???(?1)(2n)!??,
②指数函数的“麦克劳林级数”：[1]
eez?1?z?2!???znn!??,
当用iz代替 z时，那么
iz(iz)?1?iz?2!2(iz)???n!n??
?(1?z22!?z44!??)?i(z?z?z3!355!??)
?cosz?isinz
当z??时，得到
ei??cos??isin?。
2.2.2复指数定义法
用复指数定义
ez?ex?iy?e(cosy?isiny)，证明欧拉公e?cos??isin?
xi?证明 ∵对于任何复数z?x?iy (x,y?R)
∴有
ez?ex?iy?e(cosy?isiny)[2]
i?x∴当x=0时，另y??,有e?cos??isin?
2.2.3类比法求导法
通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造f(x)?ixeixcosx?isinx，
f?(x)?0用lagrange微分中值定理推论[3]，从而证明f(x)?1,使得e?cosx?isinx
①构造函数f(x)?②计算导数
eixcosx?isinxix x?R,i为虚数
f?(x)??ie(cosx?isinx)?e(?sinx?icosx)(cosx?isinx)2
ixeix(icosx?sinx?sinx?icosx)cos2x?isin2x?0③lagrange微分中值定理的推论
若函数f(x)在区间I上可导，且f(x)的导数恒等于0，x属于I，则f(x)为I上的一个常量函数[3]。根据这推论，所以有f(x)?c,c为常量，又因为f(0)?1, 所以f(x)?1,有
eix?cosx?isinx.
2.2.4分离变量积分法
假设z?cosx?isinx，求导得分得
ixdzdz?iz，通过分离变量得?idx,，然后两边取积dxzLnz?ix，所以得e?cosx?isinx.
证明 假设z?cosx?isinx,
dz?icosx?sinx?i(cosx?isinx)?iz， 那么dxdz分离变量得：?idx,
z1∴ 两边同时积分得?dz?i?dx，即Lnz?ix?c
z当取x=0时，z?cos0?isin0?1，Lnz?ln1?i0?c?0， ∴ c?0
∴ ∴
Ln?z?cosx?isinx?，z?ixee， Lnzixeix?cosx?isinx。
★★★★★下面我们介绍一种新的证明方法：极限法
??证明 令f?z???1?i? ???R,n?N?． ??n?首先证明 limf?z??cos??isin?．
n??n??????因为 arg?1?i??narctg??，
?n??n?所以 ?1?n????n???????????i???1?2i??cos?narctg??isin?narctg??． n??n???n?n???2n2n2n2从而lim?1??n????????????????i??lim?1?2??cos?narctg??isin?narctg??． n?n???n???n?n???2n??????i? 令pn?(1?2)，则lnpn?2ln?1??n??．
n???????2n2把??1视为连续变量，由洛必达法则有 n1??222limlnpn?limln?1?????lim?0． n????02???01??2?2即 limpn?e?1．
n??0????narctg ，则 1?i?ii? 令?n?arg???n?n?lim?n?limn??narctg??????0???．
???∴ limf?z??lim?1?i??cos??isin?．
n??n???n?其次证明 limf?z??e．
i?n??nnln?1?i????∵ ?1?i??e?n?的主值支，
?n?n???