∴ lim?1??n?????ni??limen?n?????nln?1?i??n??limen?????????nln1?ni?inarg?1?ni??????，
而 limnln1?n??????i?0,limnarg?1?i???，
n??n?n?n???∴ limf?z??lim?1?i??ei?．
n??n???n?∴ e?cos??isin?．
i?
2.3欧拉公式在数学中的应用
在对一些较难以证明和计算的题上，直接使用欧拉公式很容易就证明了，在高等数学中
很广泛的应用，比如棣莫弗公式的证明，复变函数的求解等。 2.3.1公式证明和应用
1. 证明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnx?isinnx?证明：由欧拉公式
(cosx?isinx)nn；
eix?cosx?isinx可知：ix?(cosx?isine??x)即
neinx?cosnx?isinnx，所以有cosnx?isinnx?(cosx?isinx)n
2.用欧拉公式和棣弗公式证明[4]：
e
xcosacos(xsina)??xcosna;n?0n!?nezxcosasin(xsina)??xsinnan?on!?n；
证明：令z?cosa?isina,由欧拉公式可知
e?exz(cosa?isina)?ecosaeisina?ecosa(cos(sina)?isin(sina))
xcosa即
e?ex(cosa?isina)?excosaeixsina?e(cos(xsina)?isin(xsina))
?excosacos(xsina)?excosaisin(xsina))
又由于：
exz??n?0?(xz)n!n??x?n?0n(cosna?isinna)n!
?cosnansinnan???i?xn!n!xn?0n?0?比较实部和虚部的到
eexcosacos(xsina)??xcosna;n?0n!?nxcosasin(xsina)??xsinnan?on!?n
2.3.2定义证明和应用
3.证明复数z 的正弦函数和余弦函数
sinz?eiz?e2i?iz,cosz?eiz?e2i?iz.[2]
证明：由欧拉公式
eixix??e?cosx?isinx?cosx?isinx可得，?，
?ix??e?cosx?isinxix?ix???cosx?ee?2从而得到?.对于任意的实数x成立，这两个公式中的x代以任意复数z后，ix?ix?e?esinx??2i?由
ez?ex?iy?e(cosy?isiny)，右端有意义，而左端尚无意义，因而有：
?izxsinz?eiz?e2i,cosz?eiz?e2i?iz.
4.求sin(1?2i)的值[2]： 解：
sin(1?2i)???ei(1?2i)?e2i?i(1?2i)ee?2(cos1?isin1)?e(cos1?isin1)2i?22
2?e22?cosh2sin1?isinh2cos1此式为复数解正弦函数
sin1?ie2?e?2cos13 结束语
ix 对于欧拉公式e?cosx?isinx，在这里用了五种不同的方法证明其的成立，也举了
几个列子说明了欧拉公式在高等数学中的重要性，主要是提供一种多方面学习和看问题的思想，比如在证明欧拉公式的方法中，都还有许多不同的证明方法，所列举的这几种方法中，类比求导法是一种很好的证明方法，其的构造思想很巧妙，对于幂级数的展开证明方法，较容易弄懂，并且在实际的题目中，幂级数的展开用得比较多。在下面所举的两类应用中，都是用到欧拉公式，且欧拉定理在这当中就像桥梁一样，如果不用到欧拉公式，这类问题也能求，但不是那么容易了。通过对欧拉公式的证明和应用的了解，我们对于那么陌生了。
ei???1也就不
参考文献
【1】 尹建堂 《数学通讯》【M】2006年08期
【2】 李劲 欧拉公式的证明及其在高等数学中的应用【J】河西学院
院报 第5期 2008
分工情况