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2014届高三第一次联考
数学试题（理科）
考试时间：2013年12月13日下午 15︰00—17︰00 试卷满分150分 考试用时120
分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间
120分钟．
★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
1.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．
3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程x2?2x?5?0的一个根是（ ） A.1?2i B.?1?2i C.2?i D.2?i 2. 集合P?{3,log2a}，Q?{a,b}，若P?Q?{0},则P?Q?（ ） A.{3,0} B.{3,0,2} C.{3,0,1} D.{3,0,1,2} 3. 下列命题，正确的是（ ） A.命题:?x?R，使得x2?1?0的否定是：?x?R，均有x2?1?0. B.命题：若x?3,则x2?2x?3?0的否命题是：若x?3，则x2?2x?3?0. C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题. D.命题：cosx?cosy，则x?y的逆否命题是真命题. ?2x?y?2≥0?4. 已知x,y满足?x?2y?4≥0，则关于x2?y2的说法，正确的是（ ） ?3x?y?3≤0?A.有最小值1 B.有最小值4 5C.有最大值13 D.有最小值25 5 - 1 -
5. 函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0,x?R)有极值点，则（ ） A. b2≤3ac B. b2≥3ac C. b2?3ac D. b2?3ac
6. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） 1A. 3C.2
1 1 1 1 1 B.
2 3
正（主）视图 侧（左）视图
D.1
7. △ABC中，角A,B,C成等差数列是
sinC?(3cosA?sinA)cosB成立的（ ）
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件
俯 视 图
D.既不充分也不必要条件
第6题图
8. 在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F与缩短的距离l按 胡克定律F?kl计算.今有一弹簧原长80cm，每压缩1cm需0.049N的压缩力，若把这根弹簧从70cm压缩至50cm（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（ ）功（单位：J） A.0.196
B.0.294
C.0.686
D.0.98
9．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1
内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为?，
下列说法错误的是（ ）
A.点F的轨迹是一条线段 B.A1F与D1E不可能平行 C. A1F与BE是异面直线 D.tan??22 10. 若直线y?kx?1与曲线y?|x?集合是（ ） 11A.{0,?,} 8811B.[?,] 88D1C1B1? FA1ECDAB第9题图
11|?|x?|有四个公共点，则k的取值 xx11C.(?,) 8811D.{?,} 88 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． （一）必考题（11—14题） 11. 平面向量a,b满足|a|?1,|b|?2，且(a?b)?(a?2b)??7，则向量a,b的夹角为______. 112. 已知正三角形内切圆的半径r与它的高h的关系是：r?h,把这个结论推广到空间正四
3面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体高h的关系是_________.
- 2 -
13. 将函数y?sin(2x??)的图象向左平移
?4?个单位后得到的函数图象关于点(,0)成中43心对称，那么|?|的最小值为________.
14. 无穷数列{an}中，a1,a2,?,am是首项为10，公差为?2的等差数列；am?1,am?2,?,a2m是
首项为
11，公比为的等比数列（其中m≥3,m?N*），并且对于任意的n?N*，都有221，则m的取值集合为____________.记数列{an}的前n项和为64an?2m?an成立.若a51?Sn,则使得S128m?5≥2013
(m≥3,m?N*)的m的取值集合为____________.
（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）
15.（选修4—1：几何证明选讲） 已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处 的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M 是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，?AMB?45， 那么⊙O2的半径为 . 16.（选修4—4：坐标系与参数方程） ?A P E C O1 O2 D B M
?在极坐标系中，曲线C1:??4上有3个不同的点到曲线C2:?sin(??)?m的距离等于2，则
4m?______.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量a?(2sin(?x?2?),2)，b?(2cos?x,0)(??0)，函数3f(x)?a?b的图象与直线y??2?3的相邻两个交点之间的距离为?． （Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在[0,2?]上的单调递增区间．
18．（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2?a4?18,S7?91．递增的等比数列{bn} 前n项和为Tn，满足：b1?bk?66,b2bk?1?128,Tk?126． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}对?n?N*，均有
19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角
形，?ABC?90?，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AAC11C.
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cc1c2????n?an?1成立，求c1?c2???c2013． b1b2bn
(Ⅰ)求证：D为棱BB1的中点；（Ⅱ） A1 A
B1
C1
AA1为何值时，二面角A?A1D?C的平面角为60?. ABD B C
第19题图
第20题
20．（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a.
（Ⅰ）若以B,C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为?，在塔底C处测得A处的俯角
为?，用a,?,?表示山的高度h；
（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的射影. 已知石塔高
度a?20,
当观测点E在AD上满足DE?6010时看BC的视角(即?BEC)最大，求山的高度
h.
21.（本小题满分
13
分）已知
an是关于x的方程
xn?xn?1?xn?2???x?1?0(x?0?nN,且≥n的根，
证明：（Ⅰ）
111?an?1?an?1; （Ⅱ）an?()n?. 22222.（本小题满分14分）已知函数f(x)?ex?ax?1（e为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当a?0时，若f(x)≥0对任意的x?R恒成立，求实数a的值； ???2?3?2?32?2?3n??ln?1?2???ln?1?n?2. （Ⅲ）求证：ln?1?2?2?2?(3?1)(3?1)(3?1)??????
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湖北省八校2014届高三第一次联考 理科数学参考答案及评分细则
一、选择题（每小题5分，共10小题） 1—5 A C B B D 6—10 B A A B A 二．填空题（每小题5分，共5小题）
11. ?2 12. r?14h 13. ?6
14.
?45,15,9?； ?6? 第一个空2分，第二个空3分
15.
322 16. m??2
三、解答题（共5小题，共75分） 17. （Ⅰ）
f(x)?4sin(?x?2?3)cos?x ?4??sin?x?(?13??2)?cos?x?2?cos?x
? ?23cos2?x?2sin?xcos?x
?3(1?cos2?x)?sin2?x ?2cos(2?x??6)?3 由题意，T??，?2?2???,??1
（Ⅱ）
f(x)?2cos(2x??6)?3，
x??0,2??时，2x??6?????6,4????6?? 故2x??6???,2??或2x??6??3?,4??时，f(x)单调递增
即
f(x)的单调增区间为??5?11???12,12??和??17??12,23??12?? ?a2?a4?2a3?18. （Ⅰ）由题意?18??7(a1得a3?9,a4?13，则an?4n?3 ?S??a7)72?7a4?91?b2bk?1?b1bk，?b1,bk方程x2?66x?128?0的两根，得b1?2,bk?64 ?S?b1(1?qk?1)1?q?b1?bkqk1?q?126，b1?2,bk?64代入求得q?2，
?bnn?2
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1分
5分 6分
9分
12分2分
4分
6分