（Ⅱ）由
cc1c2????n?an?1 b1b2bncc1c2????n?1?an(n?2) b1b2bn?1相减有
cn?an?1?an?4?n?2,cn?4bn?2n?2， bn9分
又
?10(n?1)c1 ?a2，得c1?10 cn??n?22(n?2)b1?12分
?c1?c2???c2013?10?24?25???22015?22016?6
19．解：（Ⅰ）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，
取AC的中点F，连BF ﹑EF
∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C 故直线DE?面ACC1A1
3分
又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C 由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，
又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，
11又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝ AA1 ＝ BB1，
22即D为BB1的中点
（Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系， 设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝a ，则D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以，DA1B1 A1
C1
D BAH
6分
G
E
A
F C
Z B1 ?(a,0,b),DC?(0,a,?b) A1 D C1 设面DA1C的法向量为n?(x,y,z)
BO
则
ax?0?y?bz?0,0?x?ay?bz?0x
- 6 -
C A y
可取n?(b,?b,?a) 8分
又可取平面AA1DB的法向量
m?BC?(0,a,0)
cosumr,rn
?n?mb?0?ba?a?0
n?m?2b2?a2?a2??b2b2?a2据题意有：
b?1b2b2?a22 解得：
AA1AB＝
2a?2 12 (Ⅱ)解法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，
过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，
由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角； 设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝a； 在直角三角形A1A G中，易知AB ＝ BG. 在Rt?DBG中，BH ＝
BD?BG b?aDG＝
a2
?b2， Rt?CHB中，tan∠CHB ＝ BCa2?b2在BH ＝ b，
2据题意有：
a?b20
b ＝ tan60＝
3 ，
解得：
2ba?2所以 AA1AB＝2. 20. 解：（1）在△ABC中，?BAC????,?BCA?90???,
由正弦定理得：
BCsin?BAC?ABsin?BCA ?AB?asin(90???)acos?sin(???)?sin(???)
则h?AB?sin??a?acos?sin?a?cos?sinsin(???)?a=
?sin(???) 4（2）设DE?x，?tan?BED?h?20hx，tan?CED?x?tan?BEC?tan?BED?tan?CED1?tan?BED?tan?CED 6 - 7 -
分 9分
12分分
分
201020x? ??(h?20)h(h?20)hh(h?20)1?x?x2x(h?20)h当且仅当x?即x?h(h?20)时，tan?BEC最大，从而?BEC最大
x由题意，
21. （Ⅰ）设
显然
h(h?20)?6010，解得h?180 12分
f(x)?xn?xn?1?xn?2???x?1，则f'(x)?nxn?1?(n?1)xn?2???2x?1
f'(x)?0，?f(x)在R?上是增函数
?f(1)?n?1?0(n?2)
11(1?()n)12?1??(1)n?0 f()?21221?211?f(x)在(,1)上有唯一实根，即?an?1 4分
22假设an?1则
?an，?an?1k?ank(k?N*)
f(an?1)?an?1n?1?an?1n???an?1?1?an?1n?1?ann?ann?1???an?1
?ann?ann?1???an?1?f(an)
?f(an?1)?f(an)?0，矛盾，故an?1?an
（Ⅱ）
8分
111?1?f(an)?f()?ann?ann?1???an?1??()n?()n?1???()?1?
222?2?11111(ann?()n)?(ann?1?()n?1)???(an?)?an? （?an?）
2222211?f(an)?0，f()??()n
2211?an?()n?
22方法二：?1?an由（Ⅰ）1?an13分
?ann?ann?1???an2
11111?ann?ann?1???an2?()n?()n?1???()2=?()n
2222211?an?()n?
22
- 8 -
22 （Ⅰ）
f'(x)?ex?a
1分 2分
?a?0时，f'(x)?0，f(x)在R上单调递增。 a?0时，x?(??,lna)时，f'(x)?0，f(x)单调递减，
x?(lna,??)时，f'(x)?0，f(x)单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ），a4分
?0时，f(x)min?f(lna)
5分
?f(lna)?0
即a?alna?1?0，记g(a)?a?alna?1 (a?0)
?g'(a)?1?(lna?1)??lna
?g(a)在(0,1)上增，在(1,??)上递减 ?g(a)?g(1)?0
故g(a)?0，得a（Ⅲ）由（Ⅱ）ex?1
8分
?x?1，即ln(1?x)?x(x??1)，则x?0时，ln(1?x)?x
nn2?3k3k?2，即证：?k?1 要证原不等式成立，只需证：?k22(3?1)(3?1)k?1k?13k22??下证k ① 9分
(3?1)23k?13k?1?13k4?3k?2k? k2kk3?2?3?13?3?4?3?1?4(32k?2?3k?1)?3?32k?4?3k?1
?32k?4?3k?3?0?(3k?1)(3k?3)?0
①中令kn?1,2,?,n，各式相加，得
3k222222?(?)?(?)???(?) ?k21223nn?1(3?1)3?13?13?13?13?13?1k?1 ?22??1成立， 1n?13?13?1- 9 -
故原不等式成立。
14分
2?3n3方法二：n?1时，n ?2(3?1)22?3n2?3n2?3n?1 ??n?2时，n(3?1)2(3n?1)(3n?3)(3n?1)(3n?1?1) ?n1 n?1n3?13?1?13k311???n?2时，?k?2 2n223?1k?1(3?1)
- 10 -