数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑：
一、理解集合中的有关概念
（1）集合中元素的特征：确定性、互异性 、无序性 互异性：例如：
，
，若A=B求
；（A={-1，1，0}）
（2）集合与元素的关系用符号 表示。（ 、 ） （3）常用数集的符号表示：
自然数集 ；正整数集 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。 （4）集合的表示法： 、 、 。（列举法 ， 描述法 ，韦恩图示法）
注意：区分集合中元素的形式：例如：
；
；
；
；
；
、 和
的区别；0与三者间的关系）
（5）空集是指不含任何元素的集合。（
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为 如：
二、集合间的关系及其运算
（1）符号 是表示元素与集合之间关系的，立体几何中则体现 ；（的关系）
符号 是表示集合与集合之间关系的，立体几何中则体现 。（ （2）
（3）对于任意集合 ①
，在讨论的时候不要遗忘了
，如果
的情况。 ，求 的取值。（
）
；点与直线（面）
；直线与面的关系）
；
；
，则： ；
；
1
；（=；=； ）
② （ ③ （
；
；
）
； ；
；
）
；若 为奇数，则
；若 被3除余1，则
；
（4）①若 为偶数，则 ②若 被3除余0，则2，则
；
； ；若 被3除余
三、集合中元素的个数的计算：若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数
）
为 ，所有真子集的个数是 ，所有非空真子集的个数是 。（
四、若 ；则 若 ；则
是 的充分非必要条件；
是 的必要非充分条件；
五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；（真假值） 注意：“若 如：“
六、反证法：当证“若
，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若
则
”成立，
，则 ”是“
”在解题中的运用，
”的 条件。（充分非必要）
步骤：1、假设结论反面成立；
2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； 3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源： 1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
正面词语 否定 等于 大于 小于 是 二、函数
一、映射与函数：
2
都是 至多有一个 至少有一个 任意的 （不等于；小于或等于；大于或等于；不是；不都是；至少有两个；一个也没有；存在一个）
（1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念： 如：若 问：
到
到
，
的映射有 个，
； 到
的映射有 个； ，则
到
的一一映射有 个。（
）
的函数有 个，若
的图象与直线
函数
交点的个数为 个。（0或1）
二、函数的三要素： ， ， 。
相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）②换元法③待定系数法④赋值法 （2）函数定义域的求法：
① ③
，则 ； ② ，则 ； ④如：
则 ； ，则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论； 如：已知函数
的定义域是
，求
的定义域。
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为（
（3）函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用
来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出
的
；
）
，则
；定义域为 。
取值范围；常用来解，型如： ；
③换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑤基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
3
⑥单调性法(导数法）：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）、导数法（适用于多项式函数）、复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0
f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
四、图形变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：
（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)图象 得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（向左平移2个单位）
（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 =（ｍ，ｎ）平移的意义。 对称变换y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称
y=f(x)→y=|f（x）|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称
y=f(x)→y=f(|x|)把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数）
伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
五、反函数： （1）定义：
（2）函数存在反函数的条件： ；（函数y=f（x）是一一对应） （3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；（定义域值域互换） （4）求反函数的步骤： ①将 ②将
f(x) =f(-x)
看成关于 的方程，解出 互换，得
；
4
，若有两解，要注意解的选择；
③写出反函数的定义域（即 的值域）。
（5）互为反函数的图象间的关系： ；（关于直线y=x对称） （6）原函数与反函数在对应区间上具有相同的单调性；
（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。
如：求下列函数的反函数： （
（x）=1- （x
）；
；
）
六、常用的初等函数： （1）一元一次函数： （2）一元二次函数： 一般式：
；对称轴方程是 ；顶点为 ；
，当
时，是增函数；当
时，是减函数；
（ 两点式：
）
；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；
（直线 顶点式： ①一元二次函数 当
）
；对称轴方程是 ；顶点为 ；（直线x=k；（k，h））
的单调性：
时： 为增函数； 为减函数。
时： 为增函数； 为减函数；当
（
②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则
）
的形式，
时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则
时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；
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