北京市石景山区2010年高三统一测试
数学试题（理科）
考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分150分，考试时间为120分钟。 2．本试卷各题答案均答在本题规定的位置。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数
2等于 1?iA．?2i
B．2i
C．1?i
D．1?i
（ ）
2．已知命题p:?x?R,x?2，那么命题?p为
A．?x?R,x?2 C．?x?R,x??2
B．?x?R,x?2 D．?x?R,x??2
（ ）
3．已知平面向量a?(1,2)，b?(?2,m),且a//b,则m的值为
（ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
4．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎝2）为 A．80 B．60 C．40 D．20
5．经过点P（2，-3）作圆(x?1)?y?25的弦AB，使点P为
所在直线方程为
A．x?y?5?0
B．x?y?5?0
22（ ）
弦AB的中点，则弦AB
（ ）
C．x?y?5?0 D．x?y?5?0
6．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）
1n1*B．求数列{}的前10项和(n?N)
2n1*C．求数列{}的前11项和(n?N)
n1*D．求数列{}的前11项和(n?N)
2nA．求数列{}的前10项和(n?N*)
7．已知函数f(x)的导函数f?(x)的图象如图所示， 那么函数f(x)的图象最有可能的是
（ ）
8．已知函数f(x)?()?log2x，正实数a,b,c是公差为正数的等差数列，且满足f(a)?f(b)?f(c)?0。若实数d是方程
13xf(x)?0的一个解，那么下列四个判断：
①d?a;②d?b;③d?c;④d?c中有可能成立的个数为 A．1
B．2
C．3
D．4
（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9．二项式(x?24)的展开式中的常数项为 ，展开式中各项系数和为 。（用数字作答） x10．已知曲线C的参数方程为??x?cos?,（?为参数），则曲线C的普通方程是 ；点A在曲线C上，点M(x,y)在平
?y??2?sin?,?2x?y?2?0?面区域?x?y?2?0上，则|AM|的最小值是 。
?2y?1?0?11．如图，已知PE是圆O的切线，直线PB交圆O于
A、B两点，PA=4，AB=12，AE?43，则PE的 长为 ，?ABE的大小为 。 12．某校从参加高三年级期末考试的学生中抽出60名学
生，并统计了他们的历史成绩（成绩均为整数且满分 为100分），把其中不低于50分的成绩分成五段
?50,60?,?60,70??[90,100]后，画出部分频率分
布直方图（如图），那么历史成绩在?70,80?的学 生人数为 。
13．函数y?cosx?sinx?2sinx?cosx的最小正周期为 ，此函数的值域为 。
22*14．在数列{an}中，若an，下列是对“等方差数列”的判断； ?an?1?p,(n?2,n?N,p为常数)，则称{an}为“等方差数列”
22
2①若{an}是等方差数列，则{an}是等差数列；
②{(?1)}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k?N*,k为常数)也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。
n 其中正确命题序号为 。（将所有正确的命题序号填在横线上）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）
在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且a?1,c?2,cosC?3
，4 （1）求sin(A?B)的值； （2）求sinA的值；
（3）求CB?CA的值。 16．（本题满分13分）
如图，两个圆形转盘A，B，每个转盘阴影部分各占转盘面积的
11和。某“幸运转盘积分活动”规定，当指针指到A，B24转盘阴影部分时，分别赢得积分1000分和2000分。先转哪个转盘由参与者选择，若第一次赢得积分，可继续转另一个转盘，此时活动结束，若第一次未赢得积分，则终止活动。
（1）记先转A转盘最终所得积分为随机变量X，则X的取值分别是多少？ （2）如果你参加此活动，为了赢得更多的积分，你将选择先转哪个转盘？请说明理由。 17．（本题满分14分） 如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，?ACB?90?，E是棱CC1上动点，F是AB中点，
AC?BC?2,AA1?4.
（1）求证：CF?平面ABB1；
（2）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1； （3）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角
A—EB1—B的大小是45°，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由。
18．（本题满分13分）
在数列{an}中，a1?3,an??an?1?2n?1(n?2,且n?N*)
（1）求a2,a3的值；
（2）证明：数列{an?n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前n项和Sn。 19．（本题满分14分）
x2y26已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l:y?kx?m交椭圆于不
3ab同的两点A、B。
（1）求椭圆的方程；
???????? （2）求m?k,且OA?OB?0,求k的值（O点为坐标原点）；
（3）若坐标原点O到直线l的距离为 20．（本题满分13分）
已知函数f(x)?px?3，求?AOB面积的最大值。 2p?2lnx. x （1）若p?2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线；
（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （3）设函数g(x)?
2e,若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数p的取值范围。 x
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数学试题（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—5CBDAA 6—8BAC
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．24，81
10．x2?(y?2)2?1 11．80，30 12．18
13．?,[?2,2]
14．①②③④ 注：一题两空的第1个空3分，第2个空2分。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分）
解：（1）?在?ABC中，A?B???C
?sin(A?B)?sin(??C)?sinC
又?cosC?3， 4，
?0?C??2
?sinC?1?cos2C?7. 3分 47. 4
?sin(A?B)? （2）由正弦定得得
ac?. sinAsinC
?sinA?asinC?c1?74?14. 8分
8222 （2）由余弦定理得c?a?b?2abcosC
23?(2)2?12?b2?2?1?b?，
4则2b?3b?2?0 解得b?2或b??21（舍） 11分 2
?CB?CA?|CB|?|CA|?cosC?1?2?33?. 13分 4216．（本题满分13分） 解：（1）X的取值分别是：0分，1000分，3000分 3分 （2）由已知得，转动A盘得到积分的概率为
转动B盘得到积分的概率为
1， 21 5分 4设先转A盘所得的积分为X分，先转B盘所得的积分为Y分，则有
11?, 6分 22113P(X?1000)??(1?)?， 7分
248111P(X?3000)???. 8分
2481316000?EX?0??1000??3000??. 9分
28883同理：P(Y?0)? 10分
41P(Y?2000)?, 11分
81P(Y?3000)?. 12分
83115000?EY?0??2000??3000??.
4888P(X?0)?1? 故先转A盘时，赢得积分平均水平较高。 13分
17．（本题满分14分）
（1）证明：?三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，
?BB1?平面ABC
又?CF?面ABC， ?CF?BB，1分
??ACB?90°，AC=BC=2，F是AB中点 ?CF?AB 2分
又?BB1?AB?B, 3分
?CF?平面ABB1。 4分
（2）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG
?F,G分别是棱AB、AB1中点， ?FG//BB1,FG?1BB1 21又EC//BB1,EC?BB1
2?FG//EC,FG?EC
?四边形FGEC是平行四边形，6分
?CF//DG. 7分
?CF?平面AEB1，EG?平面AEB1 8分
?CF//平面AEB1。 9分
（3）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x,y,z轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz.
则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4） 10分
?设E(0,0,m)，平面AEB1的法向量n?(x,y,z)
?????????则AB1?(?2,2,4),AE?(?2,0,m) ?????????????且AB1?n,AE?n
??????????AB1?n??2x?2y?4z?0,于是???? ????AE?n??2x?0y?mz?0