mz?x?,??2所以?
mz?4z?y???2
?取z?2,则n?(m,m?4,2) 12分
?三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，
?BB1?平面ABC，
又?AC?平面ABC
?AC?BB1
??ACB?90? ?AC?BC
?BB1?BC?B.
?AC?平面ECBB1 ?????CA是平面EBB1的法向量，
????CA?(2,0,0)
二面角A—EB1—B的大小是45°，
?????CA?n2m2????则cos45????? 13分
2222|CA|?|n|2?m?(m?4)?2解得m?
5. 2?在棱CC1上存在点E，使得二面角A—EB1—B的大小是45°。
5此时CE?. 14分
218．（本题满分13分）
（1）解：?a1?3,an??an?1?2n?1(n?2,且n?N*)
?a2??a1?4?1??6. 2分 a3??a2?6?1?1. 4分
（2）证明：
?an?n(?an?1?2n?1)?n?an?1?n?1????1.
an?1?(n?1)an?1?n?1an?1?n?1
?数列{an?n}是首项为a1?1?4，
公比为-1的等比数列。 7分
?an?n?4?(?)n?1，
即an?4?(?1)n?1?n,
?{an}的通项公式为an?4?(?1)n?1?n(n?N*)
（3）解：?an?4?(?1)n?1?n(n?N*)
所以当n是奇数时，
1Sn??ak??[4?(?1)k?1?k]??(n2?n?8). 10分
2k?1k?1当n是偶数时，
nn1Sn??ak??[4?(?1)k?1?k]??(n2?n). 12分
2k?1k?1?12?(n?n?8),n是正奇数,??2综上，S?? 13分
1?-(n2?n),n是正偶数,??2nn
19．（本题满分14分）
解：（1）设椭圆的半焦距为c，
?c6,??依题意?a3
?a?3?解得c?22
2
2由a?b?c,得b?1. 2分
x2?所求椭圆方程为?y2?1. 3分
3 （2）?m?k,?y?kx?k?k(x?1)
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
?x22??y?1其坐标满足方程?3
?y?(kx?1)?消去y并整理得
(1?3k2)x2?6k2x?3k2?3?0, 4分
则??(6k)?4(1?3k)(3k?3)?0（*） 5分
2222
?6k23k2?3,x1?x2?故x1?x2? 6分 221?3k1?3k
?AO?OB?0
?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?1)?(kx2?1)
?(1?k2)x1x2?k2(x1?x2)?k2
3k2?32?6k2k2?32?(1?k)?k??k?2?0
1?3k21?3k23k?12
?k??3 经检验?k??3满足式（*）式 8分
（3）由已知
2|m|1?k2?3， 2
可得m?32(k?1) 9分 4将y?kx?m代入椭圆方程，
整理得(1?3k2)x2?6kmkx?3m2?3?0.
??(6km)2?4(1?3k2)(3m2?3)?0(*)
?6km3m2?3?x1?x2?,x1?x2?. 10分 221?3k1?3k
36k2m212(m2?1)?|AB|?(1?k)(x2?x1)?(1?k)[2?] 2(3k?1)3k?12222
12(k2?1)(3k2?1?m2)3(k2?1)(9k2?1)?? 11分 222(3k?1)(3k?1)
12k2?3?4?3?9k?6k2?11， k21212?3??4(k?0) 12分 12?3?69k2?2?6k
当且仅当9k?2
即k??3时等号成立， 33满足（*）式 3
经检验，k??
当k?0时，|AB?3 综上可知|AB|max?2.13分
?当|AB最大时，?AOB的面积最大值S?133 14分 ?2??22220．（本题满分13分）
解：（1）当p?2时， 函数f(x)?2x?2?2lnx,f(1)?2?2?2ln1?0 x22f(x)?2?2?
xx曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为
f1(1)?2?2?2?2. 1分
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y?0?2(x?1),
即y?2x?2
p2px2?2x?p. 3分 （2）f?(x)?p?2??xxx2 令h(x)?px2?2x?p，要使f(x)在定义域（0，∞）内是增函数 只需h(x)?0在（0，+∞）内恒成立 4分
由题意p?0,h(x)?px2?2x?p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
x?1p?(0,??)，
?h(x)1min?p?p,
只需p?1p?0,即p?1时， h(x)?0,f?(x)?0
?f(x)在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是?1,??? （3）?g(x)?2ex在[1,e]上是减函数， ?x?e时， g(x)min?2;
x?1时,g(x)min?2e，
即g(x)?[2,2e] 1分
①当p?0时，h(x)?px2?2x?p
其图象为开口向下的抛物线，对称轴x?1p在y轴的左侧， 且h(0)?0，所以f(x)在x?[1,e]内是减函数。 当p?0时，在h(x)??2x 因为x?[1,e]， 所以h(x)?0,f?(x)??2xx2?0. 此时，f(x)在x?[1,e]内是减函数。 故当p?0时，f(x)在x?[1,e]上单调递减
?f(x)max?f(1)?0?2，不合题意；
②当0?p?1时，由x?[1,e]?x?1x?0 所以f(x)?p(x?1)?2lnx?x?1xx?2lnx.
又由（2）知当p?1时，f(x)在x?[1,e]上是增函数，
6分
?x?111?2lnx?e??2lne?e??2?2，不合题意； 11分 xee③当p?1时，由（2）知f(x)在x?[1,e]上是增函数，
f(1)?0?2
又g(x)在x?[1,e]上是减函数， 故只需f(x)max?g(x)min,x?[1,e]
而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne,g(x)min?2 1e即P(e?1e)?2lne?2, 解得p?4ee2?1， 所以实数p的取值范围是(4ee2?1,??)。注：另有其它解法，请酌情给分。
13分