21． (本小题满分14分)定义函数fn(x)＝(1＋x)n－1，x>－2，n∈N＋，其导函数记为fn?(x)． （1）求证：fn(x)≥nx； （2）设
fn?(x0)fn??1(x0)?fn(1)fn?1(1)，求证：0 （3）是否存在区间[a，b]?(－∞，0]，使函数h(x)＝f3(x)－f2(x)在区间[a，b]上的值域为 [ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]． 湖北省黄冈中学2007年春季高二数学期末考试答案（理） 参考答案BADBB BABAA 53?C611.900,90；800，80 12. 3x?y?1?0 13. 0.0228; 14. ?p?1?3?6C10??6? 15. ?12?1．B 解析：可导函数在导数等于零的点不一定是极值点，反过来是极值的点一定导数等于零。 2．A 解析：P1112?C2()?22. 23．D 解析：由lim4．B 5．B 解析：A52x?1f(x)?f(1)知a?1?15a4，∴a??14或4. ?C5A2?30. 126．B 解析：令x=0，则a0=n，而an=1；令x=1， 则a0?a1???an?1?an?2?2???2???an?1?2n?12n?1?2?2nn?1?2 故a1?a2?2?n?1?509?n，∴n=8. 7．A 解析：f?(x)?6x2?12x?6(x?2x)2，由f?(x)?0得x=0或2. ∵f(0)?m,f(2)??8?m,f(?2)??40?m， 显然，f(0)?f(2)?f(?2),∴m=3，最小值为f(?2)??37. 8．B 解析：E??10?0.6?6,D??10?0.6(1?0.6)?2.4， E(?)?E(8??)??E??8?2,D(?)?D(8??)?(?1)D??2.4. 29．A 解析：可得a?1,c??3,y?lnx?bx?3, ∴y??1x?bx2?x?bx2. ∵y?的单调增区间(b,??)，单调减区间为（0，b）， 由(1,e)?(b,??)或(1,e)?(0,b)知b≥e或b≤1. 10．A 解析：由f(x)可求得f?(x)?3ax2∴a11．解析： 1300130?0,c?0,?b2a?0 ?2bx?c并且由f(x)的图象可得f?(x)的图象。 ∴a?0,b?0,c?0. ?10:1，A、B、C三种产品的样本总容量为：3000?110?300， 故A、C产品的样本总容量为300－130=170. 12．解析：y?13x?2x?321y?,?1?4??3x?13，故在点（1，－2）处的切线方程为y?2??3(x?1) 即3x?13．解析：记?y?1?0 2?N(20,20)则所求概率 P?1?P(??60)?1??(60?u?16?56)?1??(. 60?2020)?1??(2)?0.0228 14．解析：1?15．解析：612C6C3310?1? V?13?AE?SCAB其中AE?22,AC?1,AB?2,BC?3. 16、解：（1）显然p(η>0)=p(η<0)． 而p(??0)?16,由p(??0)?p(??0)?p(??0)?1 512. 1可取 有∴p(??0)?（2）若ξ2=1，则ξ若ξ2=2，则ξ 若ξ2=3，则ξ故p(??2)?4，5，6． 1的可能值为 5，6． 1的可能值为6． 16?36?16?26?16?16?16. 17、证明：（1）当n＝1时，(x?1)1?1?(x?2)2?1?1?x2?3x?3能被x2+3x?3整除,命题成立. （2）假设当n＝k时， (x?1)(x?1)k?1?(x?2)2k?1能被x2?3x?3整除,那么(k?1)?1?(x?2)k?1k?12(k?1)?122k?1?(x?1)(x?1)?(x?1)(x?1)?(x?2)?(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?2)2k?122k?122k?1?(x?1)?(x?2)22k?1?(x?2)?(x?2)22k?1 ?(x?1)[(x?1)因为k?1]?(x?3x?3)?(x?2)22k?1(x?1)k?1?(x?2)和x?3x?3都能被x?3x?3整除,所以上面的式子也能被x?3x?3整除.这就是说，当n＝k＋1时，(x?1)(k?1)?1?(x?2)2(k?1)?1也能被x2?3x?3整除. 根据（1）和（2）可知，命题对任何n∈N都成立． 18、解法一：(1)?BF?平面ACE. ?BF?AE. ∵二面角D—AB—E为直二面角，且CB?AB， ?CB?平面ABE. ?CB?AE. ?AE?平面BCE. * (2)连结BD交AC于C，连结FG， ∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG= 2， ?BF?平面ACE， 由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC. ??BGF是二面角B—AC—E的平面角. 由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又?AE?EB， ∴在等腰直角三角形 ?BCE中,EC?BC2AEB中，BE=2. 又?直角 ?BE2?6, 23BF?BC?BEEC?2?62?233，?直角?BFG中,sin?BGF63?BFBG?32?63. ∴二面角B—AC—E等于arcsin. (3)过点E作EO?AB交AB于点O. OE=1. ∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h，?VD?ACE?VE?ACD, ?113S?ACB?h?1?21213S?ACD?EO. ?AE?平面BCE，?AE?EC. ?h?2AD?DC?EO12AE?EC?2?2?1?2?6233. ∴点D到平面ACE的距离为 233. 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图. ?AE?面BCE，BE?面BCE， ?AE?BE， 在Rt?AEB中,AB?2,O为AB的中点， ?OE?1. ?A(0 ,?1 , 0 ), E(1 , 0 , 0) , C(0 , 1 , 2 ). AE?(1,1,0),AC?(0,2,2). 设平面AEC的一个法向量为n?(x,y,z)， ??x?y?0 ,?y??x,?AE?n?0 , 即 ?则? 解得? 2y?2x?0.z?x,????AC?n?0 , 令x?1,得n?(1,?1,1)是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为 m,n|m|?|n|1333m?(1,0,0)， ?cos(m,n)???. ∴二面角B—AC—E的大小为arccos33. （III）∵AD//z轴，AD=2，∴AD?(0,0,2)， |AD?n||n|2323∴点D到平面ACE的距离d?|AD|?|cos?AD,n????3.