19、解：①?1?1?4?1?2?3?6 ?p(x?6)?1?C2?C2C23611?14
?1?2?4?2?2?3?7 ?P(x?7)?C2?C2?1C6C2?1C63131?14
?1?3?4?2?2?4?8 ?P(x?8)??320
?2?3?4?9?P(x?9)?C2C136?110
?p(x?6)?p(x?6)?p(x?7)?p(x?8)?p(x?9)
?14?14?320?34110?1520?34
即线路信息畅通的概率为????????6分
C2C613②1?1?2?4?p(x?4)??110
1?1?3?1?2?2?5?p(x?5)?1?C2C361?320
?信息总量x分布列 x P Ex?4?4 110145 3203106 14147 14148 3203209 110110 ?6.5
?5??6??7??8??9?．．．．．．．．．．．．．13分 ?线路通过信息量的数学期望为6.5．20、解：（1）S1?a1?a1?a12?0，即a?0
（2）an?Sn?Sn?1??an?n?1n?2an?1?nan??n?1?an?12
n?1n?2432???????a2??n?1?p n?2n?3321∴?an?是一个以0为首项，p为公差的等差数列。
n?a1?an?2n?n?1?p2（3）Sn??，
pn?Sn?2Sn?1?Sn?1Sn?2?n?2n?1??1?2?2??? n?2?nn?2?n11111111111??p1?p2???pn?2n?2?1??????????????3243546n?1n?1nn?2??111?1???1?2?1??????3?2???3
2n?1n?2n?1n?2????∵lim?p1?p2???pn?2n??3，∴数列?p1?p2???pn?2n?的“上渐近值”为3。
n??21．⑴证明：fn(x)－nx＝(1＋x)－1－nx，
令g(x)＝(1＋x)－1－nx，则g′(x)＝n[(1＋x)－1]．
当x∈(－2，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(－2，0)上递减，在(0，＋∞)上递增， 故g(x)在x＝0处取得极(最) 小值g(0)＝0，
∴g(x)≥0，即fn(x)≥nx(当且仅当x＝0时取等号)．?????????????3分 n(1＋x0)n－12n－1
?⑵解：由，得， n＝n＋1(n+1)(1＋x)2－10?fn?1(x0)fn?1(1)fn?(x0)n＋1n
n－1
n
fn(1)n(2－1)(n－1)2＋1
∴1＋x0＝，x＝，易知x0>0， n0n(n+1)(2－1)(n+1)(2－1)
n＋2－2n＋1
而x0－1＝．
(n+1)(2n－1)
由⑴知当x>0时，(1＋x)n>1＋nx，故2n＋1＝(1＋1)n+1>1＋n＋1＝n＋2，
∴x0<1，∴0< x0<1．?????????????????????????7分
y ⑶解：h(x)＝f3(x)－f2(x)＝x(1＋x)2，
h′(x)＝(1＋x)2＋x·2(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x) 1
令h′(x)＝0，得x＝－1，x＝－，
3∴当x∈(－2，－1)时，h′(x)>0； 1
当x∈(－1，－)时，h′(x)<0；
31
当x∈(－，＋∞)时，h′(x)>0．
3
－2 1－ －1 3B A y＝kx O －4 27n
x 4y＝－ 27C 故h(x)的图象如右图所示．???????????????????????9分 下面考察直线y＝kx(k>0)与曲线y＝h(x)的相交问题．
?x＝k－1，?y＝kx，?x＝0，1
??① 当交点均在[－，0]内时，由 或? 2得
3?y＝x(1＋x)?y＝0?y＝k(k－1)。
14
当－≤k－1<0，即≤k<1时，存在满足条件的区间[a，b]＝[k－1，0]，
39
41
∴k的最小值为，此时[a，b]＝[－，0]．?????????????????11分
93
1
② 当有交点分别在(－2，－1)和(－1，－)内时，
3
144
如图，图象的极小值点为A(－，－)，过A作直线y＝－与y＝h(x)的图象交于另一
32727
点B，当直线y＝kx与曲线段BC(点C的坐标为(－2，－2))有交点时，存在满足条件的区间[a，b]．
1
则b＝0，－2
3
14144
令f(x)＝f(－)，得x(1＋x)2＝－?(x＋)2(x＋)＝0?x＝－，
3273334
∴当－2
3
4
这时[a，b]＝[－，0]，?????????????????????????13分
314
综合①②，得k的最小值为，相应区间[a，b]＝[－，0]．?????????14分
93