【例26】 已知
z是纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹． z?11?1?0?为圆心，为半径的圆，并去掉点(0，0)和点(1，0)． 【答案】以?，2?2?【解析】 法一：
y?R）设z?x?yi（x，，
zx?yix(x?1)?y2?yi??则是纯虚数， z?1x?1?yi(x?1)2?y2故x2?y2?x?0(y?0)，
1?1?0?为圆心，为半径的圆，并去掉点(0，0)和点(1，0)． 即z的对应点的轨迹是以?，22??法二：
∵
zz?z???是纯虚数，∴??0（z?0且z?1） z?1?z?1?z?1zz2??0，∴z(z?1)?z(z?1)?0，得到2z?z?z， z?1z?1∴
y?R）设z?x?yi（x，，则x2?y2?x（y?0）
1?1?0?为圆心，为半径的圆，并去掉点(0，0)和点(1，0)． ∴z的对应点的轨迹以?，2?2?
【例27】 设复数z满足z?2，求z2?z?4的最值．
【解析】 由题意，z?z?z?4，则z2?z?4?z2?z?zz?z(z?1?z)．
?2≤b≤2)， 设z?a?bi(?2≤a≤2，2则z2?z?4?2a?bi?1?a?bi?22a?1．
∴当a?1151i； 时，z2?z?4?0，此时z??min222min当a??2时，z2?z?4
?10，此时z??2．
【例28】 若f(z)?2z?z?3i，f(z?i)?6?3i，试求f(?z)． 【答案】?6?4i
【解析】 ∵f(z)?2z?z?3i，
∴f(z?i)?2(z?i)?(z?i)?3i?2z?2i?z?i?3i?2z?z?2i. 又知f(z?i)?6?3i，∴ 2z?z?2i?6?3i
b?R）设z?a?bi（a，，则z?a?bi，∴ 2(a?bi)?(a?bi)?6?i，即3a?bi?6?i，
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?3a?6b?1．∴z?2?i． 由复数相等定义得?，解得a?2，?b??1?故f(?z)?f(?2?i)?2(?2?i)?(?2?i)?3i??6?4i．
【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：
y?R）的共轭复数为z，则z?z?2x；z?z?2yi； ①设z?x?yi（x，②z为实数?z?z?z2?0?z2?z； ③z为纯虚数?z2?0?z?z?0(z?0)；
2?z?z2④对任意复数有z?z；z1?z2?z1?z2；z1z2?z1?z2，特别地有z2?(z)2；?1??1；z?z?z．
z?2?z2⑤z?z，z?z?zz．z1?z2?z1?z2，
22zz1?1，z1?z2≤z1?z2≤z2?z2． z2z2以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明．
【例29】 已知虚数?为1的一个立方根， 即满足?3?1，且?对应的点在第二象限，证明???2，并求
1??的值． ?2?3与
???1??111213i 【答案】0；??22【解析】 法一：
13i． x3?1?(x?1)(x2?x?1)?0，解得：x?1或x???2213i，证明与计算略； 由题意知????22法二：
由题意知?3?1，故有(??1)(?2???1)?0??2???1?0． 又实系数方程虚根成对出现，故x2?x?1?0的两根为?，?．
?3由韦达定理有???1??????2．
??1?2???1?2?3???2???1?0． 3????1111??1????213???????i． 21????221??13i的性质：?3n?1，?3n?1??，?3n?2??2(n?Z)，1????2?0可以快速计算一 【点评】利用????222
些?相关的复数的幂的问题．
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13a0，a1，a2，?，a2n?R，????i）【例30】 若a0?a1??a2?2?a3?3???a2n?2n?0（n?N?，，
22求证：a0?a3?a6???a1?a4?a7???a2?a5?a8??
【解析】 a0?a1??a2?2?a3?3???a2n?2n
?(a0?a3?3?a6?6??)?(a1??a4?4?a7?7??)?(a2?2?a5?5?a8?8??) ?(a0?a3?a6??)?(a1?a4?a7??)??(a2?a5?a8??)?2?0
设A?a0?a3?a6??，B?a1?a4?a7??，C?a2?a5?a8??，
?1?13?3?则有A?B??C?2?0，即A?B???i?C????22???22i???0，
?????2A?B?C?0?2?，解得A?B?C，即a0?a3?a6???a1?a4?a7???a2?a5?a8??． ??3?(B?C)?0??2
1【例31】 设z是虚数，w?z?是实数，且?1?w?2．
z（1）求z的值及z的实部的取值范围； （2）设u?1?z，求证：u为纯虚数； 1?z（3）求w?u2的最小值．
?1?1?；【答案】（1）z?1；z的实部的取值范围是??，（3）1． 2??b?R，b?0 【解析】 （1）设z?a?bi，a，则w?a?bi?1a??b???a?2?b???a?bi?a?b2??a2?b2??i， ?因为w是实数，b?0，所以a2?b2?1，即z?1．
1于是w?2a，?1?w?2a?2，??a?1，
2?1?1?． 所以z的实部的取值范围是??，2??1?z1?a?bi1?a2?b2?2bib????i． （2）u?1?z1?a?bi(1?a)2?b2a?1?1?1?，b?0，所以u为纯虚数． 因为a???，?2?b21?a2a?121???2a??2a??2a?1??2(a?1)??3． （3）w?u?2a??(a?1)2(a?1)2a?1a?1a?1???2 高中数学.复数 Page 13 of 16
?1?1?，所以a?1?0， 因为a???，2??故w?u2≥2?2(a?1)?当a?1?
1?3?4?3?1． a?11，即a?0时，w?u2取得最小值1． a?1【例32】 对任意一个非零复数z，定义集合Mz?{w|w?z2n?1，n?N}．
（1）设?是方程x?1?2的一个根，试用列举法表示集合M?； x（2）设复数??Mz，求证：M??Mz．
??222?2?【答案】（1）M???（2）略 (1?i)，?(1?i)，?(1?i)，(1?i)?；
2222????【解析】 （1）∵?是方程x?∴?1?1?2的根， x22(1?i)， (1?i)或?2?22(?12)nin22n?12(1?i)时，∵?1?i，?1??当?1?． 2?1?1??i?1?i1??222?2?∴M?1??，，，???(1?i)，?(1?i)，?(1?i)，(1?i)?，
222???1?1?1?1???2?当?2?22(1?i)时，∵?2??i， 2?2?222??∴M?2??(1?i)，?(1?i)，?(1?i)，(1?i)?．
222???2???222?2?∴M???(1?i)，?(1?i)，?(1?i)，(1?i)?；
222???2?（2）∵??Mz，∴存在m?N，使得??z2m?1．
于是对任意n?N，?2n?1?z(2m?1)(2n?1)．
由于(2m?1)(2n?1)是正奇数，?2n?1?Mz，∴M??Mz．
y，x?，y?均为实数，i为虚数单位，【例33】 已知复数z0?1?mi(m?0)，z?x?yi和w?x??y?i，其中x，且对于任意复数z，有w?z0?z，w?2z．
（1）试求m的值，并分别写出x?和y?用x，y表示的关系式；
y)作为点P的坐标，(x?，y?)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点（2）将(x，的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．当点P在直线y?x?1上移动
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时， 试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求
出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
??x??x?3y【答案】（1）?；（2）y?(2?3)x?23?2；
??y??3x?y（3）这样的直线存在，其方程为y?3x或y??3x 3【解析】 （1）由题设，w?z0?z?z0z?2z，∴z0?2，
于是由1?m2?4，且m?0，得m?3，
??x??x?3y??因此由x?yi?(1?3i)?(x?yi)?x?3y?(3x?y)i，得关系式?．
???y?3x?y??x??(1?3)x?3y)在直线y?x?1上，则其经变换后的点Q(x?，y?)满足?（2）设点P(x，，
??y??(3?1)x?1消去x，得y??(2?3)x??23?2，故点Q的轨迹方程为y?(2?3)x?23?2． （3）假设存在这样的直线，
∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为y?kx?b(k?0)．
y)，其经变换后得到的点Q(x?3y，3x?y)仍在该直线上， ∵该直线上的任一点P(x，∴3x?y?k(x?3y)?b，即?(3k?1)y?(k?3)x?b，
???(3k?1)?1当b?0时，方程组?无解，故这样的直线不存在．
??k?3?k当b?0，由?(3k?1)k?33?，得3k2?2k?3?0，解得k?或k??3． 1k3故这样的直线存在，其方程为y?
3x或y??3x． 3课后检测
【习题1】 已知0?a?2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是（ ）
5? A．?1，
3? B．?1， C．1，5
??D．1，3
??【答案】C
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【解析】 z?a2?1，而0?a?2，∴1?z?5
B为锐角三角形的两个内角，则复数z?(cotB?tanA)?(tanB?cotA)i对应的点位于复【习题2】 设A，平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 tanB?cotA?
【习题3】 复数(2?2i)4(1?3i)5sinAsinB?cosAcosBcos(A?B)cos(A?B)???0，cotB?tanA??0．
sinAcosBsinAcosBsinBcosA等于（ ）
B．?1?3i C．1?3i
5A．1?3i
【解析】原式? D．?1?3i
16(1?i)4?13?(?2)5????22i????1(2i)22?????2???1?3i，选B． 222?1?3?????22i????
【习题4】 已知复数z1，z2满足z1?z2?1，且z1?z2?2，求证：z1?z2?2．
??????????【解析】 设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，由条件知z1?z2?2z1?2z2，以OZ1，OZ2为
邻边的平行四边形为正方形，而z1?z2在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以
z1?z2?2．
【习题5】 设复数z1，z2满足z1?z2?A?z1?A?z2?0，其中A?5，求z1?A?z2?A的值． 【答案】5
【解析】 z1?A?z2?A?z1?A?z2?A?z1?A?z2?A
?(z1?A)(z2?A)?z1?z2?A?z1?A?z2?A?A，
把z1?z2?A?z1?A?z2?0代入上式，得z1?A?z2?A?A?A?A?5．
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