20、（本题满分16分）
已知函数f(x)?ax?bx?c，其中a?N，b?N，c?Z.
（1）若b?2a，且f(sin?)(??R)的最大值为2，最小值为?4，求f(x)的最小值； （2）若对任意实数x，不等式4x?f(x)?2(x?1)，且存在x0使得f(x0)?2(x0?1)成立，求
222*c的值.
高三数学（理科）参考答案
一、填空题
1 3、?3 4、（2）（3） 5、2 217???6、 7、 8、? 9、[0,] ((0,)也正确) 10、2 364422?111、 12、 13、?1 14、[?2,2]
3e1、{x|1?x?2} 2、二、解答题
????????1121215、（1）∵ OP?OQ??， ∴ sin??cos???， …………2分
2221?cos2?1?cos2?1∴ ???，
4221∴ cos2??. …………6分
31?cos2?2122（2）由（1）得：cos???， ∴ P(,)
23231?cos2?11sin2???， ∴ Q(,?1) …………8分
23343 ∴ sin??，cos??，
55sin???31010，cos??， …………12分 101010 …………14分 10 ∴ sin(???)?sin?cos??cos?sin???高三数学（理科）试卷 - 6 -
??2cos??cos??2(1)16、（1）z1?z2?2?i??， …………2分
(2)2sin??sin??1?? 由(1)?(2)得：5?4cos(???)?3， ∴ cos(???)??221， …………4分 255， ?0，即cos??sin??33（2）由已知得cos??sin??2 ∴ (cos??sin?)?1?2sin?cos??∴ 2sin?cos???5， 94， …………6分 9132∴ (sin??cos?)?1?2sin?cos??，
9∵ 0????， ∴ sin??0，cos??0， …………7分
∴ sin??cos??（3）|z1?3?4i|? ?13. …………9分 3(2cos??3)2?(2sin??4)2?29?12cos??16sin? 29?20cos(???)， …………12分
∴ 当cos(???)?1时，|z1?3?4i|max?7， …………13分
∴ 当cos(???)??1时，|z1?3?4i|min?3. …………14分 另解：∵ |z1|?2， ∴ z1对应的点M在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，
i表示点| |z1?3?4M与点A(?3,4)之间的距离，
∴ |z1?3?4i|max?|OA|?2?7，|z1?3?4i|min?|OA|?2?3. 17、（1）∵ f(x)为奇函数， ∴ f(0)?0，
∴ k?1?0， ∴ k?1 …………3分 （2）∵ f(1)?0， ∴ a? 又f?(x)?alna?ax?x1?0， ∴ a?1， …………5分 alna?(ax?a?x)lna?0
高三数学（理科）试卷 - 7 -
∴ f(x)在R上单调递增， …………7分 原不等式可化为： f(x?2x)?f(4?x)， ∴ x?2x?4?x，即x?3x?4?0， ∴ x?4或x??1，
∴ 不等式的解集为{x|x?4或x??1} …………9分
2223132， ∴ a??，即2a?3a?2?0， 2a21 ∴ a?2或a??（舍去） …………11分
2（3）∵ f(1)? ∴ g(x)?22x?2?2x?2m(2x?2?x)?(2x?2?x)2?2m(2x?2?x)?2
x?x 令t?f(x)?2?2，
∵ x?1， ∴ t?f(1)?23， 222 ∴ g(x)?t?2mt?2?(t?m)?2?m， …………13分
32时，当t?m时，g(x)min?2?m??2， 2 ∴ m?2，
3172533 当m?时，当t?时，g(x)min??3m??2，m??，舍去，
241222 ∴ m?2. …………15分
当m?18、（1）∵ sinC?∵ c?2，
∴ 由余弦定理得：a?b?ab?4 ①或a?b?ab?4 ②， …………3分 ∵ sinB?sinAsinB?2sinA?0，
∴ 由正弦定理得：b?ab?2a?0， ∴ b??a（舍去）或b?2a ③ ………5分 由①③解得a?222222223?2???，C?(0,180)， ∴ C?或C?， …………1分 2332343，b?， 33高三数学（理科）试卷 - 8 -
由②③解得a?2747，b?. …………7分 77（2）∵ C为锐角， ∴ C??3， ∴ A?B?2?2?，即A??x， …………9分 33 ∵
abc43， ???sinAsinBsinC3432?43sin(?x)，b?sinx， …………11分 333432?[sinx?sin(?x)] 33∴ a? ∴ y?a?b?c?2??2? ∵ 0?x? ∴ 当x?4333?(sinx?cosx)?2?4sin(x?)， …………13分 32262?， 3时，ymax?6. …………15分
2?319、（1）a??2，f(x)??2lnx?x，
22(x2?1) ∴ f?(x)???2x?，
xx 令f?(x)?0，由x?0得x?1，
∴ f(x)的单调递增区间是(1,??). …………2分
a2(x2?)a2， （2）f?(x)??2x?xx 令f?(x)?0，由a??2,x?0得x??a?1， …………3分 2 ① 当?aaa?e，即?2e2?a??2时，f(x)在[1,?]递减，在[?,e]递增， 222?aaa时，f(x)min?aln??. …………5分 222高三数学（理科）试卷 - 9 -
∴ 当x? ② 当?a?e，即a??2e2时，f(x)在[1,e]递减， 22 ∴ 当x?e时，f(x)min?a?e. …………7分 （3）f(x)?(a?2)x化为：alnx?x?(a?2)x?0， 设g(x)?alnx?x?(a?2)x，据题意， 当x?[1,e]时，g(x)min?0，
22 g?(x)?（ⅰ）当
a?2x?a(?x(2x?a)x(?1)2?)?x2(x?a)x(?1)2， …………9分 xa?1即a?2时，当x?[1,e]时，g?(x)?0， ∴ g(x)递增， 2 ∴ g(x)min?g(1)??1?a?0， ∴ a??1，
∴ ?1?a?2； …………11分
aaa?e即2?a?2e时，g(x)在[1,]递减，[,e]递增， 222aaa ∴ g(x)min?g()?a(ln??1)，
224a∵ ln?1， ∴ g(x)min?0，
2 ∴ 2?a?2e符合题意； …………13分
a（ⅲ）当?e即a?2e时，g(x)在[1,e]递减，
2（ⅱ）当1? ∴ g(x)min?g(e)?a?e?(a?2)e?(1?e)a?e?2e
22?2e(1?e)?e2?2e??e2?0，符合题意， …………15分
综上可得，a的取值范围是[?1,??). …………16分 20、（1）据题意x?[?1,1]时，f(x)max?2 ，f(x)min??4， …………1分
b2b2)?c? f(x)?a(x?， 2a4a ∵ b?2a?0， ∴ ?b??1， 2a高三数学（理科）试卷 - 10 -
∴ f(x)在[?1,1]上递增，
∴ f(x)min?f(?1)，f(x)max?f(1)， …………3分 ∴ ??a?b?c?2， ∴ b?3，a?c??1， …………5分
a?b?c??4?3*， 又a?N， ∴ a?1， ∴ c??2，…………7分 ∵ b?2a， ∴ a?2∴ f(x)?x2?3x?2?(x?32)2?174，
∴ f(x)?17min?4. （2）由已知得，4?f(1)?4， ∴ f(1)?4，即a?b?c?4 ①， ∵ f(x)?4x恒成立， ∴ ax2?(b?4)x?c?0恒成立，
∴ ??(b?4)2?4ac?0 ②， 由①得b?4??(a?c)，代入②得(a?c)2?0， ∴ a?c， 由f(x)?2(x2?1)得：(2?a)x2?bx?2?c?0恒成立， 若a?2，则b?0，c?2， ∴ f(x)?2(x2?1)，
不存在x20使f(x0)?2(x0?1)，与题意矛盾， ∴ 2?a?0， ∴ a?2，又a?N*，
a?1，c?1. 高三数学（理科）试卷 - 11 -
…………8分
…………9分 …………11分 …………13分 …………15分 ∴