————第二章————
教材第二章习题解答
1. 设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(n?n0)； （2）x(?n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：
（1）FT[x(n?n0)]?n????x(n?n)e0??jwn
令n'?n?n0,n?n'?n0，则
FT[x(n?n0)]???jwn*n??????x(n')e?jw(n?n0)?e?jwn0X(ejw)
'（2）FT[x(n)]?*n?????x(n)en????[?x(n)ejwn]*?X*(e?jw)
n????jwn（3）FT[x(?n)]??x(?n)e
令n??n，则
'FT[x(?n)]?n'????x(n)e'?jwn'?X(e?jw)
jwjw（4） FT[x(n)*y(n)]?X(e)Y(e) 证明： x(n)*y(n)?m?????x(m)y(n?m)
??FT[x(n)*y(n)]?令k=n-m，则
n???m????jwn [x(m)y(n?m)]e??FT[x(n)*y(n)]? ?k???m?????[?x(m)y(k)]e?jwk?m??????jwk?jwnek????y(k)e?x(m)e?jwn
?X(ejw)Y(ejw)??1,w?w02. 已知X(e)??
0,w?w???0?jw求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。 解： x(n)?12??w0?w0ejwndw?sinw0n ?njwjwj?(w),如果单位脉冲响应h(n)3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(e)?H(e)e为实序列，试证明输入x(n)?Acos(w0n??)的稳态响应为
y(n)?AH(ejw)cos[w0n????(w0)]。
解：
假设输入信号x(n)?ejw0n，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
y(n)?h(n)*x(n)?m????h(m)e?jw0(n?m)?ejw0nm????h(m)e?jw0n?jw0m?H(ejw0)e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和
相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
x(n)?Acos(w0n??)?y(n)?1A[ejw0nej??e?jw0ne?j?]21 A[ej?ejw0nH(ejw0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)]21 ?A[ej?ejw0nH(ejw0)ej?(w0)?e?j?e?jw0nH(e?jw0)ej?(?w0)]2jw上式中H(e)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，
H(ejw)?H(e?jw),?(w)???(?w)1AH(ejw0)[ej?ejw0nej?(w0)?e?j?e?jw0ne?j?(w0)] 2 ?AH(ejw0)cos(w0n????(w0))y(n)?4. 设x(n)???1,n?0,1?(n)，将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x画出x(n)和?0,其它?(n)的波形，求出x?(n)的离散傅里叶级数?X(k)和傅里叶变换。 x解：
?(n)的波形如题4解图所示。 画出x(n)和x?(k)?DFS[x?(n)]??x?(n)eXn?03?j2?kn4??en?01?jkn2??1?e?jk2? ?e?jk4?(ejk4??e?jk4?)?2cos(k)?e4??jk4?,
?(k)以4为周期，或者 X?jkn1?ee(e?e)?X(k)??e2???e?111?jk?j?kj?k?j?kn?01?e2e4(e4?e4)1??j?k1?j?k21j?k21?j?k21?j?k41sin?k2, 1sin?k4?(k)以4为周期 X2??(n)]?X(e)?FT[x4jw2??X(k)?(w?k)?4k???? ????X(k)?(w?k)?2k???2?
??cos(k)e?4k???jw???jk4??(w??2k)jw5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(e)表示，不直接求出X(e)，完成下列运算： （1）X(e)；
?j0（2）
???X(ejw)dw；
2?（5）解：
???X(e)dw
jw（1）X(e)??j0n??3?x(n)?6
7（2）
???X(ejw)dw?x(0)?2??4?
27?（5）
???X(e)dw?2??x(n)?28?
jwn??326. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)?11?(n?1)??(n)??(n?1)； 22（3）x3(n)?anu(n),0?a?1 解：
（2）
1jw1?jw?jwnx(n)e?e?1?e?222n???
1 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2X2(e)?jw?（3） X3(e)?7. 设:
（1）x(n)是实偶函数，
jwn????au(n)en??jwn??ane?jwn?n?0?1
1?ae?jw（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn
（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?两边取共轭，得到
jwn????x(n)ejwn??jwn
X(e)?因此X(e)?X(ejw*?jw*jwn????x(n)e??n????x(n)e??j(?w)n?X(e?jw)
)
jw上式说明x(n)是实序列，X(e)具有共轭对称性质。
X(e)?jwn????x(n)e???jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]
?由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么
n?????x(n)sinwn?0
因此X(e)?jwn????x(n)coswn
该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即
X(ejw)?X*(e?jw)
X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]
?x(n)coswn?0
??由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么
n????因此X(e)?jjwn????x(n)sinwn
这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。
10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(ejw)?1?cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?jwn???
??h(n)e?jwn?1?en?jw?2e?jw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)?au(n),0?a?1，输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列y(n)；