（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1）
y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2a（2）
?nn?2u(n?2)
X(e)?H(e)?jwjwjwn????[?(n)?2?(n?2)]e???jwn?1?2e?j2w1 ?jw1?aeau(n)ejwn?jwnn???jw??ane?jwn?n?0?1?2e?j2wY(e)?H(e)?X(e)?1?ae?jw13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行采
?a(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题： 样，得到采样信号x（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)；
?a(t)和x(n)的表达式； （2）写出x?a(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 （3）分别求出x解：
（1）
Xa(j?)??xa(t)e???????j?tdt??2cos(?0t)e?j?tdt???
??(ej?0t?e?j?0t)e?j?tdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以 表示成：
Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)])
?a(t)?（2） xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)
a0n?????x(n)?2cos(?0nT), ???n??
?0?2?f0?200?rad,T?（3）
1?2.5ms fs?1?(j?)??X(j??jk?)XaasTk???
?2? ??[?(???0?k?s)??(???0?k?s)]Tk???式中?s?2?fs?800?rad/s
X(e)? ?jwn?????x(n)e?[ejw0n??jwn?n????2cos(?nT)e0?k?????jwn?n????2cos(wn)e00??jwn
?e?jw0n]e?jwn?2?n????[?(w?w?2k?)??(w?w0?2k?)]式中w0??0T?0.5?rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。
14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2?nu(?n?1)； （3）2?nu(?n)；
（6）2?n[u(n)?u(n?10)] 解：
（2） ZT[2u(n)]?（3）
?nn????2u(n)z?n??n??2?nz?n?n?0?11 ,z?1?2?1z?12ZT[?2u(?n?1)]? ?（6）
?nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?129
ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?0 ?16. 已知:
1?2z,0?z???1?11?2z?10?10
X(z)?32 ?1?11?2z?11?z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。
解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z?0.5时，
x(n)?12?jn?1X(Z)zdz ??c令F(z)?X(z)zn?15?7z?15z?7n?1n ?z?z?1?1(1?0.5z)(1?2z)(z?0.5)(z?2)n?0，因为c内无极点，x(n)=0；
n??1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有
z1?0.5,z2?2，那么
x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2](5z?7)zn(5z?7)zn ?(z?0.5)z?0.5?(z?2)(z?0.5)(z?2)(z?0.5)(z?2)1 ??[3?()n?2?2n]u(?n?1)2（2）当收敛域0.5?z?2时，
z?2
(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?3?()n
2n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一
个，即2，
x(n)??Res[F(z),2]??2?2nu(?n?1)
()u(n)?2?2u(?n?1) 最后得到x(n)?3?（3）当收敛域2?z时，
12nn(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0，C内有极点0.5，2；
1x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3?()n?2?2n
2n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
1x(n)?[3?()n?2?2n]u(n)
217. 已知x(n)?anu(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）a?nu(?n)的z变换。 解：
（1）X(z)?ZT[au(n)]?nn????anu(n)z?n??1,z?a ?11?azdaz?1（2）ZT[nx(n)]??zX(z)?,z?a ?12dz(1?az)（3）ZT[au(?n)]??n?an?0???n?nz??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求：
2?5z?1?2z?2（1）收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z?2对应的原序列x(n)。 解：
x(n)??X(z)z2?j?c1n?1dz
F(z)?X(z)zn?1?3z?1?3?znn?1 ?z?2?5z?1?2z?22(z?0.5)(z?2)（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点0.5，
x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
x(n)?2?nu(n)?2nu(?n?1)?2（2（当收敛域z?2时，
?n
n?0,c内有极点0.5,2,
x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]
?3?zn?0.5?2(z?0.5z)?(nn ?0.5?n2z(?2)2)z?2
n?0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,
因此x(n)?0, 最后得到
x(n)?(0.5n?2n)u(n)
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，
试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n)
y(n)?h(n)?x(n)?nnm????bn?mu(m)an?mu(n?m)，n?0,
y(n)??am?0n?mm1?a?n?1bn?1an?1?bn?1，n?0，y(n)?0 b?a?ab?a??11?aba?bm?0n?mm最后得到
an?1?bn?1y(n)?u(n)
a?b（2）用ZT法求y(n)
X(z)?11,H(z)? ?1?11?az1?bz