所以ξ的分布列为
ξ P 0 1 2 42 7630 764 76 ????11分 所以： E??0?423041?1??2?? ????12分 767676218. (本小题满分14分)
(本题考查空间的线面关系、二面角、空间向量及坐标运算、圆柱的侧面积、余弦定理等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
解: （1）(解法一)：由题意可知 83??2?2??AD ，
解得 AD?23 ， ????1分 在?AOP中，AP?22?22?2?2?2?cos120O?23， ????2分 ∴ AD?AP， 又 ∵G是DP的中点，
∴ AG?DP. ① ????3分 ∵ AB为圆O的直径， ∴ AP?BP.
由已知知 DA?底面ABP， ∴ DA?BP，
∴ BP?平面DAP . ????5分 ∴ BP?AG. ②
∴ 由①②可知：AG?平面DPB，
∴ AG?BD. ????7分 （2） 由（1）知：AG?平面DPB ， ∴AG?BG，AG?PG，
∴?PGB是二面角P?AG?B的平面角 . ????10分
A G y O P x
B z D Q ． C PG?11PD??2AP?6, BP?OP?2, ?BPG?90?. 22∴ BG?PG2?BP2?10.
PG615 . ???14分 ??BG51016
cos?PGB?
(解法二)：建立如图所示的直角坐标系， 由题意可知83??2?2??AD. 解得AD?23. 则A?0,0,0?，B?0,4,0?，D0,0,23，P3,3,0 ， ∵G是DP的中点， ∴ 可求得G??????33??. ????4分 ,,3?22???（1）BP??3,?1,0?，BD??0,?4,23?，
?33??. ,,3?22???∴ AG???33??? ∵ AG?BD??2,2,3??0,?4,23?0， ???? ∴ AG?BD. ????8分 （2）由（1）知,BP???3,?1,0?， AG????33,,3?，
??22????35?33???PG???,?,3?， BG??,?,3?? . 2222????∵AG?PG?0，AG?BP?0.
????∴BP是平面APG的法向量. ????10分
设n??x,y,1?是平面ABG的法向量， 由n?AG?0，n?AB?0，
解得n???2,0,1? ????12分
?????BP?n?2315?? cos?????. ???525BP?n 所以二面角P?AG?B的平面角的余弦值19．（本小题满分14分）
(考查函数和方程、函数与导数、不等式的求解等知识，考查化归与转化、分类与整合、
17
15. ????14分 5函数与方程的数学思想和方法、推理论证能力和运算求解能力)
2a22x2?x?a?解: （1）∵f??x??2x?， 2x?12x?1∵f?x? 在x??????1?,1? 上是减函数， 2???1?,1?恒成立. ????2分 ?2?∴ f??x??0在x???又∵ 当x????1?,1? 时，2x?1?0， 2??2∴不等式 2x?x?a?0在x????1?,1?时恒成立， ?2?即 a?2x?x 在x???2?1?,1?时恒成立， ????4分 2???1?,1?，则 ?2?设 g?x??2x?x，x???2g?x?max?g?1??3，
∴ a?3. ????6分
22x2?x?a（2）∵f??x??，
2x?1 令 f??x??0 ，解得: x1?由于a?0， ∴(?)?x1?∴x1??①当x2????1?1?8a?1?1?8a, x2?, 441211?8a?11?8a?1?0， ?0，x2?(?)?24411, x2?? ， ????8分 22?1?1?8a?1??1即0?a?3 时,在??,x2?上f??x??0；在?x2,1?上
4?2?f??x??0，
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∴当x??1?1?8a?1?时，函数f?x?在??,1?上取最小值. ??11分
4?2??1?1?8a?1??1即a?3 时,在??,1?上f??x??0，
4?2??1?,1?上取最小值. ?2??1?1?8a时取最小值;当a?3 时,
4② 当x2?∴当x?1时，函数f?x?在??由①②可知，当0?a?3 时,函数f?x?在x?函数f?x?在x?1时取最小值. ????14分 20．（本小题满分14分）
(考查椭圆、抛物线、直线、定积分等知识，考查数形结合、化归转化等数学思想、以及推理论证能力和运算求解能力)
x2y2解：（1）设椭圆E的方程为 2?2?1(a?b?0)，半焦距为c.
ab由已知条件，得F(0,1)，
?b?1?3?c∴??
a2??a2?b2?c2? 解得
a?2,b?1.
x2?y2?1. ????4分 所以椭圆E的方程为：4（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意， 故可设直线l的方程为 y?kx?1，A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)， 由??y?kx?1?x?4y2
2消去y并整理得 x?4kx?4?0，
∴ x1x2??4 . ????5分 ∵抛物线C的方程为y?121x，求导得y??x， 4219
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是
11x1(x?x1)， y?y2?x2(x?x2)， 22112112即 y?x1x?x1 ， y?x2x?x2，
2424 y?y1?解得两条切线l1、l2的交点M的坐标为(x1?x2x1x2x?x2,)，即M(1,?1)，??7分 242?????????x?x2121212,?2)?(x2?x1,y2?y1)?(x2?x12)?2(x2?x1)?0 ∴FM?AB?(12244∴AB?MF. ????9分 （3）假设存在点M?满足题意，由（2）知点M?必在直线y??1上，又直线y??1与椭圆E有唯一交点，故M?的坐标为M?(0,?1)，
设过点M?且与抛物线C相切的切线方程为：y?y0?令x?0,y??1得，?1?1x0(x?x0)，其中点(x0,y0)为切点. 2121x0?x0(0?x0)， 42 解得x0?2或x0??2 ， ????11分 故不妨取A?(?2,1),B?(2,1)，即直线A?B?过点F.
综上所述，椭圆E上存在一点M?(0,?1)，经过点M?作抛物线C的两条切线M?A?、M?B?（A?、B?为切点），能使直线A?B?过点F.
此时，两切线的方程分别为y??x?1和y?x?1. ????12分 抛物线C与切线M?A?、M?B?所围成图形的面积为
2?111?S?2??x2?(x?1)?dx?2(x3?x2?x)04122??20?4 . ????14分 321．（本小题满分14分）
(考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识，考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想)
解: （1）∵an是Sn和2的等差中项，
∴Sn?2?2an， ① ????1分 当n?1时，S1?2?2a1，解得a1?2. 当n?N,n?2时，
*Sn?1?2?2an?1 n?N*,n?2. ②
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