松江区2012学年度第一学期高三期末考试
数学（理科）试卷
（满分150分，完卷时间120分钟） 2013.1
一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A??0,a?,B??1,a2?，若A?B??0,1,4,16?，则a? ▲ ． 2．若行列式
2x?1421?0，则x? ▲ ．
3．若函数f(x)?2x?3的图像与g(x)的图像关于直线y?x对称，则g(5)＝ ▲ ． 4．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ▲ ．
n5．已知数列{an}的前n项和Sn?2?n，则a3? ▲ ．
???1），且a?b，则tan?? ▲ ．6．己知a?(1,2sin?)，b?（cos?，．
7．抛物线的焦点为椭圆
x25?2xy24?5y顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 ▲ ?1 的右焦点，的最小值为 ▲ ．
8．已知lgx?lgy?1，则
2229．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若b?c?a?bc，且bc?8，
则△ABC的面积等于 ▲ ．
7510．若二项式(x?a)展开式中x项的系数是7，则lim(a?a???a242nn??)= ▲ ．
11．给出四个函数：①f(x)?x?1x，②g(x)?3?3x?x，③u(x)?x，④v(x)?sinx，
3其中满足条件：对任意实数x及任意正数m，都有f(?x)?f(x)?0及f(x?m)?f(x)的函数为 ▲ ．（写出所有满足条件的函数的序号）
12．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a,b??0,1,2,3,?9?，若a?b?1，则称甲乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ▲ ．
13．已知y?f(x)是定义在R上的增函数，且y?f(x)的图像关于点(6,0)对称．若实数
x,y满足不等式f(x?6x)?f(y?8y?36)?0，则x?y的取值范围是 ▲ ．
222214．定义变换T将平面内的点P(x,y)(x?0,y?0)变换到平面内的点Q(x,
y)．
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若曲线C0:x4?y2?1(x?0,y?0)经变换T后得到曲线C1，曲线C1经变换T后得到曲线
*C2?，依次类推，曲线Cn?1经变换T后得到曲线Cn，当n?N时，记曲线Cn与x、y轴
正半轴的交点为An(an,0)和Bn(0,bn)．某同学研究后认为曲线Cn具有如下性质： ①对任意的n?N*，曲线Cn都关于原点对称； ②对任意的n?N*，曲线Cn恒过点(0,2)；
③对任意的n?N*，曲线Cn均在矩形OAnDnBn（含边界）的内部，其中Dn的坐标为
Dn(an,bn)；
④记矩形OAnDnBn的面积为Sn，则limSn?1
n??其中所有正确结论的序号是 ▲ ．
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答
题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．过点(1,0)且与直线x?2y?2?0平行的直线方程是 A．x?2y?1?0 B．x?2y?1?0 C．2x?y?2?0 D．x?2y?1?0 16．对于原命题：“已知a、b、c?R，若a?b ，则，以及它的逆命题、否命题、逆否命题， ac?bc”
在这4个命题中，真命题的个数为 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x?R，都有f(x?2)?f(x?2),且当
1xx?[?2,0]时，f(x)?()?1．若在区间(?2,6]内关于x的方程
222f(x)?loga(x?2)?0(a?1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
A．(1,2)
B．(2,??) C．(1,34) D．(34,2)
三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定
区域内写出必要的步骤．
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19．（本题满分12分）
????已知a?(2cosx,1)，b?(cosx,3sin2x)，其中x?R.设函数f(x)?a?b，求f(x)的
最小正周期、最大值和最小值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分
已知z?C，且满足z?(z?z)i?5?2i． （1）求z；
（2）若m?R，w?zi?m，求证：w?1．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度xv的值为2（千克/年）（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，；当4?x?202时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）。
（1）当0?x?20时，求函数v(x)的表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f(x)?x?v(x)可以达
到最大，并求出最大值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
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题满分6分
已知递增的等差数列{an}的首项a1?1，且a1、a2、a4成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）设数列{cn}对任意n?N*，都有值． （3）若bn?
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分 对于双曲线C:xa22c12?c222???cn2n?an?1成立，求c1?c2???c2012的
an?1an(n?N)，求证：数列{bn}中的任意一项总可以表示成其他两项之积．
*?yb22定义C1:?1(a?0,b?0)，
xa22?yb22记双?1为其伴随曲线，
曲线C的左、右顶点为A、B.
（1）当a?b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c?2c1，求双曲线C的渐近线方程； （2）若双曲线C的方程为求动点M的轨迹方程；
（3）过双曲线C:x?y?1的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N1、N2两点，求证：对任意的k?[?2
?1422x24?y22弦PQ?x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，?1，
,2?14??????????????2]，在伴随曲线C1上总存在点S，使得FN1?FN2?FS.
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数学（理科）试卷参考答案
2013.1
1． 4 2． 2 3． 1 4． 20 5． 5 6．
212127
7．y?4x 8． 2 9． 23 10． 11．③ 12．
2513． [16,36] 14． ③④ 15．D 16． C 17．C 18．D
??19．解：由题意知f(x)?a?b?2cos2x?3sin2x ????????? 3分
?2?cos2x?12?3sin2x
?cos2x?3sin2x?1
????2sin?2x???1 ????????????? 6分
6??2??? ????????8分 ∴最小正周期 T?2??当2x???2k?，即x???k?,?k?Z?时，f(x)max?2?1?3??????10分
626?3?2??2k?，即x?当2x???k?,?k?Z?时，f?x?min??2?1??1????12分
62320．解：（1）设z?a?bi(a,b?R)，则z由a?b?2ai?5?2i
222?a?b，(z?z)i?2ai ????2分
22?a2?b2?5得? ???????????4分 ?2a?2?a?1?a?1解得? 或 ????????????? 5分
b?2b??2??∴z?1?2i或z?1?2i???????????? 7分 （2）当z?1?2i时，
w?zi?m?(1?2i)i?m??2?i?m?(m?2)?1?1???????? 10分
2当z?1?2i时，
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