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2012年现代控制理论考试试卷
一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，
（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。
（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
（ √ ）4. 对线性定常系统x?Ax，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。
（ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。
（ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量；
（ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；
（ × ）8. 若传递函数G(s)?C(sI?A)?1B存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；
（ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；
（ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。
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二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）
解：（1）由电路原理得：
diL1R111??iL1?uc?udtL1L1L1dt??R21iL2?ucL2L2
diL2duc11?iL1?iL2dtccuR2?R2iL2
?R1?????iL1??L1????iL2???0????uc??1??????c0?R2L21??????1?L1?iL1????L1????1??iL2???0?u?L2???? ?0?????uc0??????????1?cuR2??0R2???iL1???0??iL2? ???uc?????
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二．（10分）图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流和电容C上的电压x2为状态变量，电容C上的电压x2为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。
解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。
以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：
iL?x1,uc?x2，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：
R2Cx2?x2?Lx1?0
R1(x1?Cx2)?Lx1?u?0
从上述两式可解出x1，x2，即可得到状态空间表达式如下：
R1R2R1R2??????????x??(R?R)L?x(R?R)L(R?R)L112122??????1???1?u????R1??x2???11x???2????(R?R)C?(R?R)C(R?R)C12??12? ?12
???????0??y1??R1R2?y???R?R2?2?=?11?R1?R1?R2???0??x1??R2?u?x??R?R?2??2?+?1
三、（每小题10分共40分）基础题
（1）试求y?3y?2y?u?u的一个对角规范型的最小实现。（10分）
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3Y(s)(s?1)(s2?s?1)s2?s?1s?11??1…………4分 ?3???1?U(s)s?3s?2(s?1)(s2?s?2)s2?s?2s?2s?1不妨令
X1(s)X(s)?1，2??1…………2分 U(s)s?2U(s)s?1于是有
x1?2x1?u
x2??x2?u又
X(s)X(s)Y(s)?1?1?2，所以Y(s)?U(s)?X1(s)?X2(s)，即有 U(s)U(s)U(s)y?u?x1?x2…………2分 最终的对角规范型实现为
x1?2x1?ux2??x2?u y?x1?x2?u则系统的一个最小实现为：
?20??1?x??x?u, y??11?x+u…………2分 ????0?1???1?
（2）已知系统x???01??1?x?u, y??1?2?x，写出其对偶系统，判断?????23??2?该系统的能控性及其对偶系统的能观性。（10分） 解答：
?0?2??1?x??x?u????13???2?…………………………2分
y??12?xrankUC?rank?b……………………………………2分
3分
3分
?5?6?Ab??rank??2,系统状态完全能控??2?3?则对偶系统能观 完美DOC格式整理
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（3）设系统为
??10??1??1?x?t???xt?ut, x(0)???????1??1?0?2??????
试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。 解
?e?t??t????00??e?2t?……………………………..…….……..3分
t0x(t)???t?x(0)????t?Bu(?)dτ?e?t???0……….….……….……..3分
?t????0??1?t?e????2t???e??1?0??0??1??dτ?2?t????1?e????….……..2分 0?t???e?t?t?e??????2t?????2t???dτ??0?e?.……….…………………..…..1分 ?e????e?t??1?e?t???1?????=?=1?2t1??2t?2t??1?e??e?1?e??????2??2………………..1分
?11??1??x?x?（4）已知系统 （10分） ?00??1?u试将其化为能控标准型。
?????12?u?1解：uc???，c10???1?01???11? .……..2分 ??22?1?2? .…….1分
?01?1p1??01?uc??01??1??21??2?2??1p2?p1A??????011?2?2??1?1P??11?,P????1?22?12121?1??2?0?12? .……..1分
1? .……..2分 1?????能控标准型为x?01??0?x?u .……..4分 ????01??1? 完美DOC格式整理