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四、设系统为
?x1???1100??x1??1??x??0?100??x??0??2?????2????u,?x3??00?30??x3??5?????????x000?4??x4??0??4???x1??x?y??0140??2?
?x3????x4?
试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10分） 解：
能控性分解：
?x1???3000??x1??5??????x??1?0-110x?2?????2????u,?x3??00-10??x3??0?????????000?4x?4?????x4??0???x1??x?y??4010??2??x3????x4?（4分）
能观测性分解：
?x1???3000??x1??5??????x??0?0-100x?2?????2????u,?x3??01-10??x3??1?????????000-4x????x4??0??4???x1??x?y??4100??2??x3????x4?（4分）
传递函数为g(s)?
4?520?s?3s?3(2分)
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五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统x????01?（10x的稳定性。???1?1?分）
方法一：
解： x1?x2
x2??x1?x2
?? 原点xe=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即
v(x)?x1?x2?0
v(x)?2x1x1?2x2x2?2x1x2?2x2(?x1?x2)??2x2
???222当x1?0，x2?0时， v(x)?0；当x1?0，x2?0时，v(x)?0，因此v(x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。
另选一个李雅普诺夫函数，例如：
1222?v(x)??(x?x)?2x?x1212?=?x1?2?3212??x1?x2????x? 121???2????
为正定，而
2v(x)?(x1?x2)(x1?x2)?2x1x1?x2x2??(x12?x2) ?????为负定的，且当x??，有V(x)??。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。 方法二：
?p11解：或设P???p21Tp12? p22???0?1??p11??p1?1???12p12??p11??p22???p12p12??01???10???1?1???0?1? p22??????则由AP?PA??I得 ? 完美DOC格式整理
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3?p??3?112??2p11??1??p11p1?2?2????p11?p12?p22?0 ??p22?1 P????p12p2?2?1?2p?2p??1?122?12??p12??22??p3?0 det?112?p12?3?2p12??det??p22??1??21?2?5???0
41???1?2?? 1???P11?可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的 六、 （20分）线性定常系统的传函为
Y(s)s?4? U(s)(s?2)(s?1)（1）实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为??4,?3?，求反馈阵K。（5分）
（-10,-10）（2）试设计极点为全维状态观测器（5分）。 （3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4分） （4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4分）
注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为： 解：（1）
Y(s)s?4s?4??2 U(s)(s?2)(s?1)s?3s?2系统的能控标准型实现为：X??X???u,y??41?X……1分 ???2?3??1?系统完全可控，则可以任意配置极点……1分 令状态反馈增益阵为K??k1k2?……1分 则有A?BK????，则状态反馈闭环特征多项式为 ???k2?2?k1?3?01?01??0??I??A?BK???2?(k1?3)??(k2?2)
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又期望的闭环极点给出的特征多项式为：(s?4)(s?3)?s2?7s?12
由?2?(k1?3)??(k2?2)?s2?7s?12可得到K??410?……3
分
（2）观测器的设计：
由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。……1分 令E??e1e2?……1分
??(A?EC)x??Bu?Ey可得其期望的特征多项式为: 由观测器xf(s)?det[?I?(A?EC)]??2?(4e1?e2?3)??(10e1?4e2?2) f*(s)?(??10)(??10)??2?20??100
T?11f*(s)?f(s)?E????395?……4分 ?3?T（3）绘制闭环系统的模拟结构图 第一种绘制方法：
??(A?EC)x??Bu?Ey x?11??44??3?01??3?A?EC??????41??????2?3??95???386???3???3?44?3??(A?EC)x??Bu?Ey??x??386??311?3?? 104??3??11??11???3?3???0??x???u???y 104??1??95???3???3?? 完美DOC格式整理
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x2v?u????1s1sx1x14??y3???241022?3?223???????21xs22343???11xs434?????y?583……4分
（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！！）
第二种绘制方法：
?11???3??01??0???Ax??Bu?E(y?y?)??????u???) x?(y?y?x?2?3195????????3?? 完美DOC格式整理