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A卷
二、基础题（每题10分）
1、给定一个二维连续时间线性定常自治系统x?Ax,t?0。现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为
?3?t13t??5?t33t?e?e?4??4e?4e??1??2?4 x(0)???,x(t)?? x(0)???,x(t)???；?
?131?153??????e?t?e3t???e?t?e3t???22????2试据此定出系统矩阵A。 解：x(t)?eAtx(0) 2分 可得
?eAt??3?t13t5?t33t??3?t?4e?4e4e?4e??12??113t?5???4e?4e?t????3e?1e3t?2e?t?32e3t????1?1???22????32e?t?12e3t?? ??1e?t?e3t??1?t13t??2?4e?4e?????e?t?e3t1?2?e?t?e3t????4分
?1?t331AtA?de4e?t?34e3t??dtt?0???e?t?22e????11?t?0 4分
?41???e?t?3e3t??1??t332e?t?2e??2、设线性定常连续时间系统的状态方程为
??x1??01????x1??0?x???2??0?2???x???2??1??u, t?0
取采样周期T?1s，试将该连续系统的状态方程离散化。 解：① 首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法：
eAt?L?1???sI?A???1???s?1??1?1????L?????0s?2??????1? ?L?1?1?ss(s?2)??2t 3分
??1?????10.5?1?e????2t??0(s?2)??0e???② 进而计算离散时间系统的系数矩阵。
完美DOC格式整理 2??54e?t?34e3t??5????1??t33t?2e?2e??1?
?2?1?? 专业资料分享
G?eAT?10.5?1?e?2T???10.4323?ATT?1s将代入得 2分 ??G?e?????2Te?00.1353????0?At?2t??T?10.5?1?e?????0?H??edtB????dt?????2t001e???0????????0.5T?0.25e?2T?0.25? 3分 ????2T?0.5e?0.5???1.0789?????0.4323??T?③ 故系统离散化状态方程为
?x1?k?1???10.4323??x1?k???1.0789???????xk???0.4323?u?k? 2分 xk?100.1353?????2??????2?3、已知系统的传递函数为
G(s)?4?s?a? 322s?12s?22s?12（1）试确定a的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；
（2）在上述a的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性； （3）若a?3，写出系统的一个最小实现。（10分） 解：（1）因为
G(s)?4?s?a?2?s?a?2s?2a ??32322s?12s?22s?12s?6s?11s?6?s?1??s?2??s?3?因此当a?1或a?2或a?3时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统 3分
（2）可写系统的能控标准形实现为 此问答案不唯一
10??0?0??x??0?u
x??001y??2a2????????6?11?6???1??存在零极相消，系统不能观 1分 （3）a?3，则有G(s)? 3分 0?x2
s2?3s?2可写出能控标准形最小实现为
?01??0?x???x??1?u y??20?x
?2?3????此问答案不唯一，可有多种解 3分
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三、已知系统的状态空间表达式为
???x???20??0??3?2??x???1??u ??y??25?x（1）判断系统的能控性与能观测性；
（2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？ （3）试将系统按能控性进行分解； （4）求系统的传递函数。（10分） 解：（1）系统的能控性矩阵为
UC??bAb????00?， det?1?2??UC?0,rankUC?1?2 故系统的状态不能控 系统的能观测性矩阵为
U???c??5??cA????2O?19?10?， det?UC??115?0,rankUO?2
故系统的状态不能观测 4分
（2）rankUC?1，因此能控的状态变量数为1 1分 （3）由状态方程式
x???20??3?2??x???0??x1?2x1?1??u???x2?3x1?2x2?u 可知是x2能控的，x1是不能控的 2分 （4）系统的传递函数为
G(s)?c?sI?A??1b?c?152?sI?A2?b2?s?2 只与能控子系统有关 B卷
二、基础题（每题10分）
1、给定一个连续时间线性定常系统，已知状态转移矩阵?(t)为
?2e?t?e?2t2t?(t)??2e?t?2e???e?2t?e?t2e?2t?e?t?
?试据此定出系统矩阵A。
完美DOC格式整理 3 分
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??2e?t?2e?2t?d?A???(t)???dt?2e?2t?e?t???t?0解：
?02??????1?3??2e?t?4e?2t???4e?2t?e?t?t?0
2、设线性定常连续时间系统的状态方程为
?x1??01??x1??0??x???00??x???1?u, t?0
??2????2??取采样周期T?1s，试将该连续系统的状态方程离散化。 解：① 首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法：
?1t??1 eAt?L?1??sI?A???????01??② 进而计算离散时间系统的系数矩阵。
?1T??11?ATT?1s将代入得G?eAT??G?e???01?
01????H??T?1t???0?AtedtB?dt?????0???0??01???1? ?12?T?0.5???2???????1??T?T??③ 故系统离散化状态方程为
?x1?k?1???11??x1?k???0.5??????????u?k? ??x2?k?1???01??x2?k???1?3、已知系统的传递函数为
G(s)?4
2s3?12s2?22s?12试写出系统的能控标准形实现。（10分） 解：系统的能控标准形实现为
G(s)?2 32s?6s?11s?610??0?0??x??0?u
x??001y??200?x
????????6?11?6???1??三、试确定下列系统当p与q如何取值系统既能控又能观。（10分）
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?x1??112??x1??p??x1? ??uy?q1 ???x??10??x???1??x?
??2????2???2?解：系统的能控性矩阵为
UC??b?pp?12?Ab????
?1p??其行列式为 det?bAb??p2?p?12
根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即行列式值不为0 ，
det?bAb??p2?p?12?0
因此当p?3,?4时系统能控 系统能观测性矩阵为
1??c??q UO???????cA??q?112q?其行列式为
?c?det???12q2?q?1
?cA? 根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即
?c?det???12q2?q?1?0
?cA?因此当q?11,?时系统能观 3411,?时系统既能控又能观 34综上可知，当p?3,?4，q?
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