南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院
毕 业 论 文（设 计）
（ 一三 届）
题 目： 柯西不等式的证明及应用 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 学 号 指导教师：
南京师范大学泰州学院教务处 制
南京师范大学泰州学院毕业论文
摘要：本文对柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式进行了诠释，详细介绍了柯西不等式的几种典型证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，并通过列举一系列范例揭示柯西不等式在不等式证明、等式证明、求最值、解析几何、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用。说明了柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，在数学的各个分支都可以见到它的应用。灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果，充分体现柯西不等式的重要性及较强的应用性。 关键词：柯西不等式；证明；应用
Abstract: In this paper, Cauchy inequality and its corollary, deformation, diffusion and integral form are explained in detail. What’s more, several typical Cauchy inequality proofs, such as the distribution method, discriminant method, mathematical induction, the use of the basic and promotional inequality, using the second type and vector inner product are introduced. Furthermore, the paper reveals the application of Cauchy inequality in inequalities, equality proof, for the most value, analytic geometry, the scope of demand parameters, solving equations, the solution function and geometry through a series of examples. Cauchy inequality is a very important mathematics inequality. Within its harmonious symmetrical structure, it is widely used in elementary mathematics, higher mathematics and almost every branches of mathematics. When using it flexibly, most of the difficult problems can be solved, or even users can receive a surprise move, a multiplier effect. All these fully reflect the importance of Cauchy inequality and the strong capability of application. Keywords: Cauchy inequality; proof; application
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目 录
1绪论 .......................................................................................................................................................... 3
1.1 研究意义 ..................................................................................................................................... 3 1.2 国内外研究现状 ....................................................................................................................... 3 1.3 本文解决的主要问题 .............................................................................................................. 4
2柯西不等式的诠释 .......................................................................................................................... 5
2.1 柯西不等式................................................................................................................................. 5 2.2 柯西不等式的推论 ................................................................................................................... 5 2.3 柯西不等式的变形 ................................................................................................................... 6 2.4 柯西不等式的推广 ................................................................................................................... 7 2.5 柯西不等式的积分形式 .......................................................................................................... 8
3柯西不等式的证明 .......................................................................................................................... 9
3.1 配方法 .......................................................................................................................................... 9 3.2 判别式法 ..................................................................................................................................... 9 3.3 数学归纳法............................................................................................................................... 10 3.4 运用基本不等式 ......................................................................................................................11 3.5 运用推广不等式 ..................................................................................................................... 12 3.6 利用二次型............................................................................................................................... 12 3.7 利用向量内积 .......................................................................................................................... 13
4柯西不等式的应用 ........................................................................................................................ 14
4.1 在证明不等式方面的应用 ................................................................................................... 14 4.2 在证明等式方面的应用 ........................................................................................................ 16 4.3 在求最值方面的应用 ............................................................................................................ 18 4.4 在解析几何方面的应用 ........................................................................................................ 19 4.5 在求参数范围问题中的应用 ............................................................................................... 22 4.6 在解方程问题中的应用 ........................................................................................................ 22 4.7 在解函数问题中的应用 ........................................................................................................ 23 4.8 在几何上的应用 ..................................................................................................................... 23
结论 ............................................................................................................................................................ 26 谢辞 ............................................................................................................................................................ 27 参考文献 ................................................................................................................................................. 28
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1 绪 论
在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用。不等式问题覆盖面广、综合性强，是当今各层次数学竞赛的热点和难点之一，而不等式问题的处理更以“多入口，方法巧”见长。经研究发现，很多问题又都能采用柯西不等式加以简单地解决。
柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。它在代数、几何等方面的广泛应用是众所周知的，它常常作为重要的基础去架设条件与结论间的桥梁，以证明和推广其它不等式及竞赛题，它也是发现新命题的重要工具，是一个极有魅力的不等式。近年来，在高考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与之有关的题目，灵活巧妙地应用柯西不等式，往往可使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果。当然，我们在解题中并不一定能看出它的直接应用，需要适当地构造使用它的环境，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的。本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式，给出了它的几种典型证明方法，并通过一些例题讲述了它在多方面的应用，也涉及到一些重要的竞赛题。
1.1 研究意义
柯西不等式是一个非常重要的不等式，价值不可估量。将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。这个不等式结构对称和谐，无论是在代数，还是几何中都可以应用，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常有用，在初等数学和高等数学中应用都比较广泛。因此，对柯西不等式的探究是有益的。近年来，以柯西不等式为背景的试题已悄然在高考试卷和国内外的数学竞赛题中出现。在解题过程中，灵活巧妙地应用柯西不等式，从不同角度考虑问题，有助于拓宽解题思路，提升解题技巧，并可以使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果。
1.2 国内外研究现状
柯西不等式是一个非常重要的不等式，它结构对称优美，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。因此许多数学教师和资深数学教育家都在研究柯西不等式的证明及应用问题，如2004年洪顺刚在皖西学院学报上发表了《柯西不等式的证明及其应用》，探讨了柯西不等式多种证明方法，反映了柯西不等式在函数求最值、证明不等式及其在几何上的广泛应用，2009 年邹晶晶、周小玲，针对柯西不等式的重要性及较强的应用性，在数学学习与研究报上发表了《柯西不等式的应用》。近年来，在国内外的数学竞赛题中，越来越多地出现与柯西不等式有关的题目，有学者也就其作出了研究，如2010年蔡玉书在数学通讯上发表了《用柯西不等式证明竞赛中的不等式》。但是这些研究还远远没有能够形成一个完整的体系，还需要做一个更深入的研究和讨论。该课题在国内仍备受关注。国外的研究情况由于资源的缺陷，还尚未清楚。
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1.3 本文解决的主要问题
本文先对柯西不等式从定理、推论、变形、推广和积分形式等方面进行了诠释，然后介绍了柯西不等式的几种常用证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，最后探讨了柯西不等式在证明不等式、等式，求最值，解析几何，求参数范围，解方程，解函数，几何问题上的应用。也讲述了如何巧用柯西不等式及其推论、变形来解题，特别是一些高考题和国内外数学竞赛题，并介绍了一些解题技巧。
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