南京师范大学泰州学院毕业论文
n ???aix?bi?。
i?12因为ai,bi?R，对于任意x?R,f?x??0。
?n??n2??n2?所以，f?x?的判别式：???2?aibi??4??ai???bi??0。
?i?1??i?1??i?1?2?n??n2??n2?从而， ??aibi????ai???bi?。
?i?1??i?1??i?1?2当且仅当f?x?有二重根x?k时，即??aik?bi??0时等号成立。因此，当且仅当
i?1n2bi?kai?i?1,2,...,n?时等号成立[3]。
3.3 数学归纳法
当n?1时，显然成立。
当n?2时，?a1b1?a2b2??a12b12?2a1b1a2b2?a22b22
2?a22b? ?a12b12?a12b22?a22b122?2a1???a2222b? 21?。b2等号当且仅当a1b2?a2b1时成立。
kk??22 假设当n?k时成立，即??aibi???ai??bi。
i?1i?1?i?1?k2等号当且仅当aibj?ajbi?i,j?1,2,...,k?时成立。
k?k2?2?? 那么，当n?k?1时，?ai?bi???ai?ak?1???bi2?bk?12?
i?1i?1?i?1??i?1?22k?1k?1??ai?1kk2i?bi?1kk2i?b2k?1?ai?1k2i?ak2k?1?bi?1k2ik2i?ak?12bk?12??a2i
i?1?bi?12i?2ak?1bk?1k?a?b2ii?1i?1?ak?12bk?12?????aibi??2ak?1bk?1?aibi?ak?12bk?12i?1?i?1??k?1????aibi?。?i?1?2k2
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kaiaj等号当且仅当??i,j?1,2,...,k?且?ai2bibji?1k?bi?12i?ak?12bk?12时成立。
因为aibi?ajbj, 所以aibi?ajbj??a2222i?1k2i ?b?i,j?1,2,...,k?。2ii?1k所以ai2bi2?aj2bj2?ak?12bk?12?i,j?1,2,...,k?。 所以aibi?ajbj?i,j?1,2,...,k?1?。 综上所述，柯西不等式成立[9]。
3.4 运用基本不等式
运用基本不等式ab?21n2i2n12a?b2?。 ?2记S??a,S2??bi2,Ti?aibi,i?1,2,...,n。
i?1i?1T?T?...?Tn?n?22?1。 则柯西不等式等价于S1S2???Ti?，也等价于12SS?i?1?122?a1??b1??????SSabaST1ab?11??1??2?，当且仅当1?1，即1?1时等号成立；
b1S2S1S2S1S2S1S22?a2??b2??????SSabaST2ab?22??1??2?，当且仅当2?2，即2?1时等号成立；
S1S2b2S2S1S2S1S22??
2222?an??bn??????abaSTnanbn?S1??S2?，当且仅当n?n，即n?1时等号成立。 ??S1S2bnS2S1S2S1S22以上n个式子相加得
nn22?ai?12iT1?T2?...?TnTTTS?1?2?...?n?1S1S2S1S2S1S2S1S22?2?bi?12iS22?1?1?1。 2 11
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当且仅当
aa1a2S??...?n?1时等号成立，即等价命题成立。 b1b2bnS2故柯西不等式成立。
3.5 运用推广不等式
若xi为正数，yi为非负数，i?1,2,...,n，实数m?0，则
yxm?11m1?yny2?...??mmx2xnm?1m?1?y1?y2?...?yn?m?1m?x1?x2?...?xn? （当且仅当
yy1?...?n时等号成立）。 x1xn在以上推广不等式中取m?1,yi?aibi,xi?bi2,i?1,2,...,n。 有
?a1b1?b212?ab2?2?b222?ab??...?nnbn22?ab1?a1b?2?2...2?anbn?222b1?b2?...?bn。
2222a??b...?b?...n?b化简得， ?a12?a22?...?n。 ?na?2??1a1b?a1?b2?nb22当bi为零或几个为零（ai处于对称位置），不等式显然成立。
aaa?n?22所以?ai?bi???aibi?，当且仅当1?2?...?n时等号成立[4]。
b1b2bni?1i?1?i?1?nn2评注：上述两种证法都灵活运用了已知的不等式。
3.6 利用二次型
0???aix?biy?
i?1n2?n2?2?n??n2?2=??ai?x?2??aibi?xy???bi?y, ?i?1??i?1??i?1??a即关于x、y的二次型非负定，因此
i?1ni?1n2i?abi?1n2ii?1nii?0,
?ab?bii?n?22此即?ai?bi???aibi?[6]。
i?1i?1?i?1?
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3.7 利用向量内积
????设a??a1?a2?...?an?,b??b1?b2?...?bn?,?是a与b的夹角， ??????????因为a?b?a?b?cos?,cos??1,所以a?b?a?b?cos??a?b。
??2?2?2于是， a?b?a?b。
?...?nan?b?所以 ?a1b1?a2b2?2212a?2a...?2?n??a212b?22b?...nb。 ????bbb当且仅当??0或??180时等号成立，即a与b共线，1?2?...?n时等号成立[10]。
a1a2an??以上给出了柯西不等式七种常用的证明方法，还有其它的一些证明方法这里就不逐
一介绍了。这充分体现了柯西不等式的重要性和证法的多样性。除此之外，柯西不等式的应用也非常的广泛。下面就柯西不等式的应用进行探讨。
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4 柯西不等式的应用
柯西不等式作为重要的不等式，价值是不可估量的，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常有用。灵活巧妙地运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，亦可使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高效率，尤其是在国际数学竞赛上。在应用柯西不等式时，分析其结构，运用其解题的关键是构造两个数组ai和bi?i?1,2,...,n?或多组数组。构造数组时一要考虑柯西不等式的基本形式和推广，二要考虑所要证明不等式的结构，然后构造数组。下面通过具体的例子介绍柯西不等式在以下问题中的应用。
4.1 在证明不等式方面的应用
柯西不等式在不等式的证明中有着十分重要的作用，它不仅应用广泛，而且用法灵活，许多不等式利用柯西不等式证明可以化难为易。有些证明不等式的题目表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等。下面通过一些具体例子加以说明。
?????2?例1 证明三角不等式：???ai?bi?????ai2????bi2?。
?i?1??i?1??i?1?证：因为??ai?bi????ai?bi?ai???ai?bi?bi，根据柯西不等式，可得
i?1i?1i?1n2nnn12n12n12??a?b?aiii?1nni??2????ai?bi??ai2?，
i?1?i?1??n2nnn12??ai?bi?bi????ai?bi??bi2?i?1??12?i?1n。
i?112??把上述两个不等式相加，再除以??(ai?bi)2?，
?i?1??????2?即可得???ai?bi?????ai2????bi2?成立。
?i?1??i?1??i?1?例2 设a,b,c为正实数，且满足abc?1，证明：
1113???。 333a?b?c?b?a?c?c?a?b?2n12n12n12分析：对于这样的不等式一般可以采用配对约分的方法来解决，但是采用配对约分
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