南京师范大学泰州学院毕业论文
2 柯西不等式的诠释
柯西是法国数学家，1789年8月21日出生于巴黎，他对数论、代数、数学分析和微分方程等多个数学领域进行了深入地研究，并获得了许多重要的成果，著名的柯西不等式就是其中之一。
2.1 柯西不等式
nn?n?2定理1 对任意两组实数a1,a2,???,an;b1,b2,???,bn，有??aibi???ai??bi2，当且仅
i?1i?1?i?1?2当ai与bi?i?1,2,???,n?对应成比例，即（Cauchy）不等式。
说明：
aia?????n时等号成立。这个不等式称为柯西bibnaia?????n的意义如下：在b1,b2,???,bn不全为零时，若bi=0，则对应的ai=0；bibn在b1?b2?????bn?0时，a1,a2,???,an可取任意实数[1]。
2.2 柯西不等式的推论
柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳出它的推论，将会有更多收获。
?n??n1?推论1 设a1,a2,???,an是正实数，则??ai?????n2，等号成立当且仅当
?i?1??i?1ai?a1?a2?????an[2]。
证：比照柯西不等式，构造如下两组数：
a1,a2,...,an;111,,...,。 a1a2an2由柯西不等式，得
?n1??n ??ai??????i?1??i?1ai??2?a?i2?1???， ??????i?1?ai??n 5
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?n??n1即 n???ai????i?1??i?1ai2??。 ?2所以原不等式成立[3]。
?n?2推论2 设a1,a2,???,an是实数，则n?ai???ai?，等号成立当且仅当
i?1?i?1?a1?a2?????an[2]。
n?n?22证：由柯西不等式有?ai??bi???aibi?，取bi?1?i?1,2,...,n?，有
i?1i?1?i?1??n?2n?ai???ai?[4]。 i?1?i?1?n2nn22.3 柯西不等式的变形
柯西不等式有多种变形，已经成为许多现代数学理论的出发点。下面介绍的是竞赛解题中的常见形式。
变形1 对任意的两组实数ai、bi?i?1,2,..,n?，有等号成立当且仅当ai?kbi?k为常数，i?1,2,..,n?。
注：这又可以表示为向量形式，即对于任意的向量?,?有??,?????，其中，等号成立当且仅当?,?线性相关。这就是所谓的柯西—布涅柯夫斯基不等式。
变形2 对任意的两组正实数ai、bi?i?1,2,..,n?，有
?n??n?ab?a?abii? ??ii???i?i?1??i?1?22?abi?1nii??ai?1n2i??bi?1n2i。
?n??n? ???ai???aibi2?。
?i?1??i?1?当且仅当bi为常数时，上式等号成立。
?n?ab??ii??n?变形为??aibi2???i?1n?，用来处理分式不等式常常带来方便。
?i?1??aii?12 6
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变形3 对任意的两组正实数ai、bi?i?1,2,..,n?，有
ai??n??n a?ab???ii??i????bi??i?1??i?1?n??nai ???aibi????i?1??i?1bi??。 ?22当且仅当bi为常数时，上式等号成立。
?n?ai???nai???1?，用来处理分式不等式常常带来方便。 变形为?????in?i?1bi??aibii?12变形4 对任意的两组正实数ai、bi?i?1,2,..,n?，有
ai????nbi?? ???ai????bi??i?1??i?1?n22?n??nai2? ???bi????。
?i?1??i?1bi?当且仅当ai?kbi(k为常数，i?1,2,..,n)时，上式等号成立。
?n?ai???nai2??1?，用来处理分式不等式常常带来方便。 变形为?????i?n?i?1bi??b???i??i?1?2变形5 对任意的两组实数a1,a2,???,an;b1,b2,???,bn，有
?n??n22??nbi2???aibi?????ai????2????0?。 ?i?1??i?1??i?1?2当且仅当ai?kbi(k为常数，i?1,2,..,n)时，上式等号成立。
2.4 柯西不等式的推广
定理2 对aij?0?i?1,2,...,m,j?1,2,...,n?，有
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nm?mn?n???aij????aij。
j?1i?1?i?1j?1?n 证：记?aijn?Ajn。由算数—几何平均不等式有
i?1m?1naijn????n ???Ai?1j?1i?1?nj?1Ajjmnaijm?1nmaijn1n???1?1, ?n?n??Anj?1j?1i?1j?nm?mn?nnn得 ???aij??A1A2...An???aijn[5]。
j?1i?1?i?1j?1?n2.5 柯西不等式的积分形式
柯西（Cauchy）不等式的积分形式称为施瓦茨（Schwarz）不等式。 定理3 若f?x?、g?x?在?a,b?上可积，则
??baf?x?g?x?dx?2??f2?x?dx??g2?x?dx。
aabb若f?x?、g?x?在?a,b?上连续，其中等号当且仅当存在常数?,?使得
?f?x???g?x?时成立（?,?不同时为零）[6]。
证：因为f?x?,g?x?都在?a,b?上可积，由定积分性质，推得
f2?x?,f?x??g?x?,g2?x?，及?t?R,??f?x??tg?x???在?a,b?上都可积，
2由定积分性质：
??f?x??tg?x???dx??afa?b2b2?x?dx?2t?af?x?g?x?dx?t?ag2?x?dx?0。
2bbbb因为上式对一切实数t都成立，所以必须有 4??baf?x?g?x?dx?4?f2?x?dx??g2?x?dx?0。
aa?2即施瓦茨（Schwarz）不等式
??baf?x?g?x?dx???2baf2?x?dx??ag2?x?dx成立[7]。
b
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3 柯西不等式的证明
柯西不等式的证明方法有很多种，下面介绍典型的几种。
3.1 配方法
?n?22ab?ab?i?i??ii?i?1i?1?i?1?nn2
??ai?1n2i?b??ab?ab2jiijj?1i?1j?1nnnj
nnnn?1?n2n22???ai?bj?2?aibi?ajbj??aj?bi2? 2?i?1j?1i?1j?1j?1i?1?1nn????ai2bj2?2aibiajbj?aj2bi2? 2i?1j?121nn????aibj?ajbi??0。 2i?1j?1??由此证明了?ai2?bi2???aibi?且得等号成立的条件为：
i?1i?1?i?1?aibj?ajbi?0,?i,j?1,2,...,n.这等价于连比式
nnn2aa1a2??...?n[8]。 b1b2bn3.2 判别式法
当ai?i?1,2,...,n?全为零时，命题显然成立。
n?n2?2?n?如果ai不全为零，考察二次函数f?x????ai?x?2??aibi?x??bi2
i?1?i?1??i?1? 9