2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答
（1）计算积分
???0e??x2?ex2??x2dx,??0,??0.
解 方法一 直接利用分部积分法得
??0?e??x2?ex2??x2dx??0??0(e??x2?e??x2)(?1x)?dx
??x2?????(?2?xe??x2?2?xe??x2)(?1x)dx
?????2(????0(2?e??x2?2?e)dx?2????2)??(???)；
方法二 不妨设0????，由于
??02e??x2?ex2??x2????e?yx2dy，
而积分
??ee?yxdx关于y在[?,?]上一致收敛，故可交换积分次序
2??0??x?ex2??x2dx?????0dx???e?yx2dy????dy???0e?yx2dx
???1y?2e??x2dy??e??x2?(???)；
方法三 将??0固定，记I(?)????0x??x22dx, ??0， 可证I(?)在(0,??)上收敛．
2设??[?,??), ??0， 因为e所以由Weierstrass判别法知道 积分运算的次序， 即
???e??x2?e2??x，而
?＋?０e??x2dx收敛，
?＋?０e??xdx对??[?,??)一致收敛．所以可以交换微分运算和
I?(?)????0(?ex2??x2)dx????0(?e??x2)dx??1?2?．
由?的任意性，上式在(0,??)上成立． 所以 I(?)?????x??C，由于I(?)?0,C?2??, 所以I(?)??(???)，
即
???e??x2?ex20dx??(???)．
1
(2)若关于
x的方程kx?1x12?1，?k?0?在区间?0,???内有唯一的实数解，求常数k2x3.
解：设
f?x??kx?x2?1，则有
f??x??k?，
11????3322???????当x??0,??时，f??x??0；当x???,??时，f??x??0. ??k????k??????1由此
?2?3f?x?在x???处达到最小值，
?k?1x2又
f?x??kx??1在?0,???内有唯一的零点，
13必有
1??32?2?3?k?2????f???0，k??????1?0， ??k???k??2???3?1?2271??23?3??1， k2????1，k???4?4???2所以k?233. x（3）设函数
f?x?在区间?a,b?上连续，由积分中值公式，有?f?t?dt??x?a?f??a?，
?a??求
x?a?x?b?，若导数f???a?存在且非零，
lim?x??ax?a.
解：
??f?t??f?a??dt??x?a??f????f?a??，
a
??ax?a??f?t??f?a??dt， ?f????f?a??x?a??2a??a1x由条件，可知
x?alim???af????f?a??1f???a?，
2
x?alim???f?t??f?a??dtax?x?a???ax?a?122?lim?x?af?x??f?a?2?x?a??12f???a?，
故有
x?alim?.
二、设函数
f?x?在x?0附近可微，f?0??0，f??0??a,
?1??2??n?定义数列xn?f??f?2????f?2?.
2??n??n??n?证明：
?xn?有极限并求其值.
f?x?x证明：由导数的定义， 对于任意??0,存在??0，当0?|x|??时，有
?a??.
于是
?a???x?f?x???a???x，?0?x???
???1从而，当n时，有
kn2?1n??，
k?k??a???2?f?2???a???2nn?n?对于上式求和，得到
nk，其中k?1,2,?,n.
?a????k?1kn2n?xn??a????k?1kn2，
即
?a???n?12n?xn??a???n?12n，
令n??，有
12?a????limxn?limxn??a??n??n???12,
由??0的任意性，得到 limxn?n??a2.
设
f?x?在??1,1?上有定义，在x?0处可导，且f?0??0.
n证明：lim
n???k?1f??0??k?f?2??.
2?n?3
三、设函数
fx?在
[0,??)，
上一致连续，且对任何
x?[0,1]，有
f(limn??证明：
n)?0limf(x)?0x???。
试举例说明，仅有证明 证法一
f在
[0,??)上的连续性推不出上述结论。
由
f在[0,??)上一致连续，对
???0， ???0，
当
y1,y2?[0,??)
且
|y1?y2|??时，
便有
|f(y1)?f(y2)|?1k?2；
取定充分大的正整数，使得
k??。现把区间
[0,1k]等分，设其分点为
xi?ik,i?0,?1,k,，每个小区间的长度小于?。
对于任意
x?1，
x?[x]?[0,1)；
从而必有
xi,i?{0,1,?,k}，使得|x?[x]?xi|??；
；
由条件对每个xi，有
limf(xn??i?n)?0 4
于是存在N，当n?N时，
|f(xi?n)|??2，对
i?0,1,?,k都成立；
故当
x?N?1时，便有
?|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|?2??2??，
(x)?0即得
limfx???，结论得证。
证法二 设
fn(x)?f(x?n),由题设条件知
{fn(x)}在
[0,1]上等度一致连续,对每一
x?[limfn(x)?0n??;
利用Osgood定理得,
{fn(x)}在[0,1]上一致收敛于0,
对???0,存在N，当n?N时,
有
|f(x?n)|?|fn(x)|??,x?[0,1],
从而当
x?N?1时,有|f(x)|??,
即得limf(x)?0x???，结论得证。
设
f在
[0,??)上的连续，且对任何
x?[0,1]，
有
limf(x?n)?0(x)?0n??，但推不出
limf。
x???例如函数
f(x)?xsin?x1?x2sin2?x满足在
[0??,上的连续，5
0,,有1且对任何