且|y1?y2|??时，
便有
|f(y1)?f(y2)|?1?2；
取定充分大的正整数k，使得
??。现把区间[0,1]k等分，设其分k点为
xi?,i?0,1,?,k，每个小区间的长度小于?。 ki对于任意x?1，
x?[x]?[0,1)；
从而必有xi,i?{0,1,?,k}，使得由条件对每个xi，有
|x?[x]?xi|???n)?0；
；
limf(xn??i于是存在N，当n?都成立； 故当
N时，
|f(xi?n)|??i，对2?0,1,?,kx?N?1时，便有
?|f(x)|?|f(xi?[x])|?|f(x)?f(xi?[x])|?2??2??，
f(x)?0lim即得，结论得证。
x??? 设
f在[0,??)上的连续，且对任何
21
x?[0,1]，有
limf(x?n)?0，
n??但推不出上述结论。 例如函数
f(x)?xsin?x[0,??)上的连续，且对任何22满足在
1?xsin?xx?[0,1]，有limf(x?n)?0n??但不成立limf(x)?0x??? 。
22
，