?f??1?limsinx?cosx?1x?xtanx22x?02
sinx?2sin?2limx?022x2x?xtanx2sin2
x??2xcos?1??2?2??2limx?0sinx1?2?x?1??xcosx??2
x??2xsincos?1??22?lim??lim?x?0x?0sinx1x??1???xcosx
?1?2?11?1?12.
设f?x?在?0,??上连续，无穷积分?f?x?dx收敛，求lim0y???解：设F?x?? limF?x??x????1?yy0xf?x?dx.
?x0f?t?dt，由条件知，F??x??f?x?， ，
???0f?t?dt?A利用分部积分，得
?y0xf?x?dx?y0?y0xF??x?dx?yF?y???y0F?x?dx，
1?yxf?x?dx?F?y??y01?yy0F?x?dx，
y???lim?F?x?dxy?limF?y??A，
y???于是lim1y????yy0xf?x?dx?limF?y??limy???1y????yy0F?x?dx
?A?A?0.
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设函数f?x?在?0,1?上连续，在?0,1?内可微，且f?0??f?1??0，
?1?f???1. ?2??1????,1?证明：（1）存在?2?，使得f?????；
（2）对于每一?，存在???0,??，使得f??????f???????1. 证明：（1）令F?x??f?x??x， 由题设条件，可知F????2??1?12，
F?1???1；
利用连续函数的介值定理，得 存在
????1?,1??2?，使得F????0，即f?????.
令G?x??e??x?f?x??x?，
由题设条件和（1）中的结果，可知，
G?0??0，G????0；
利用罗尔中值定理，得 存在???0,??，使得G?????0，
由G??x??e??x?f??x??1??e??x??f?x??x?， 即得f??????f???????1.
六、 试证：对每一个整数n?2，成立 1?n1!???nnn!?en2.
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分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.
证明：显然n?0时，不等式成立； 下设n?1.
n由于e??nk?0nkk!?1n!?0?n?t?nnedt，
t这样问题等价于证明
n!?2e?n?n0?n?t?edt，
tn即
????0tedt?2en?t?n?0?n?t?n?unnedt，
t令u??0?n?t上式化为
n?tntedt?2?uedu，
0??n?un从而等价于?uedu?只要证明?uedu?n2nn?u?n0nuedu，
?un?u?n0uedu，
设f?u??une?u，则只要证明
f?n?h??f?n?h?，?0?h?n?，
就有?f?n?h?dh?0
n?n0f?n?h?dh，
?2nnf?u?du??n0f?u?du，
则问题得证.
以下证明f?n?h??f?n?h?，?0?h?n?，成立 上式等价于?n?h?e?n?h??n?h?eh?n， 即nln?n?h??h?nln?n?h??h， 令g?h??nln?n?h??nln?n?h??2h，
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nn则g?0??0，并且对0?h?n，有
dgdh?nn?h?nn?h?2
2 ?2nn2?h2?2??2h2n2?h2?0，
从而当0?h?n时，g?h??0， 这样问题得证.
注：利用这一结论，我们可以证明如下结论. 2n六、设n?1为整数，F?x???x0e?t?tt???t??1???1!2!n!?dt?F?x??n?n?2，在?,n?2??上至少有一个根.
证明：存在a?(1an?x2n,n)，使得?0e?xkk?0k!dx?12n.
证明：令f?y???ynx0e??xk
k?0k!dx，nnkn则有
f?n?????2?2?x?xx?n?0e?xk?0k!dx??20eedx2，
nf?n???n?xxknn0e?n?nk0e?dx
k?0k!dx??k?0k! ??n0e?n?12endx?n2，
由连续函数的介值定理，得
存在a??n???2,n??，使得f?a??n2，
故问题得证.
nn这里是由于g?x??e?x?xk?xxk?0k!， g??x???en!?0，
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，证明方程
g?x?在?0,???上严格单调递减，
所以，当0?x?n时，有g?x??g?n?.
七、 是否存在R上的可微函数f(x)，使得f(f(x))?1?若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。 证明 如果这样的函数f(x)存在，
我们来求f(f(x))的不动点，即满足f(f(x))?x的x，
x?1?x?x?x?x42x?x?x?x2435，
2435，
(x?1)(x?x?1)?0，
由此得x?1，这表明f(f(x))有唯一的不动点x?1，易知f(x)也仅有唯一的不动点x?1，f(1)?1，在等式f(f(x))?1?求导，得
324f?(f(x))f?(x)?2x?4x?3x?5x，
x?x?x?x2435，两边对x让x?1，即得(f?(1))2八、设函数
??2，这是不可能的，故这样的函数不存在。
f在[0,??)上一致连续，且对任何x?[0,1]，有
limf(x?n)?0，
n??f(x)?0lim证明： 。
x???试举例说明，仅有证明 由当
f在[0,??)上的连续性推不出上述结论。
f在[0,??)上一致连续，对??
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?0， ???0，
y1,y2?[0,??)